基于互信息的特征选择算法MATLAB实现

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在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（Mutual Information，简称MI）或转移信息（transinformation）是变量间相互依赖性的量度。不同于相关系数，互信息并不局限于实值随机变量，它更加一般且决定着联合分布 p(X,Y) 和分解的边缘分布的乘积 p(X)p(Y) 的相似程度。互信息(Mutual Information)是度量两个事件集合之间的相关性(mutual dependence)。互信息最常用的单位是bit。

互信息的定义
# a. Z/ f& G4 G; Z7 s5 o正式地，两个离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以定义为：

其中 p(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率分布函数，而p(x)和p(y)分别是 X 和 Y 的边缘概率分布函数。

- z2 f7 D+ t, y( y- E9 O# X

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

. m( h: {! c% l  j& p  H1 `

. g9 d" F4 k+ ^+ f其中 p(x,y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而p(x)和p(y)分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

互信息量I(xi;yj)在联合概率空间P(XY)中的统计平均值。 平均互信息I(X;Y)克服了互信息量I(xi;yj)的随机性,成为一个确定的量。如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。

0 L* \2 s. ?2 s! m直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）
+ P. n: ?. P9 i" T3 V
互信息是 X 和 Y 联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：
5 Z; X& m4 D4 }% Z; [
; {- C) N0 {. `& O1 ^

& g# y! W* J5 I& k+ o此外，互信息是非负的（即 I(X;Y) ≥ 0; 见下文），而且是对称的（即 I(X;Y) = I(Y;X)）。

互信息特征选择算法的步骤
0 v: S- X, B' N

• ①划分数据集
• ②利用互信息对特征进行排序
• ③选择前n个特征利用SVM进行训练
• ④在测试集上评价特征子集计算错误率
  

缺点
" j! r0 c" L' m此种特征选择方法是最大化特征与分类变量之间的相关度，就是选择与分类变量拥有最高相关度的前k个变量。但是，在特征选择中，单个好的特征的组合并不能增加分类器的性能，因为有可能特征之间是高度相关的，这就导致了特征变量的冗余。

代码
+ H4 F8 X# {: f注意使用的数据集是dlbcl，大概五千多维，可以从UCI上下载，最终选择前100特征进行训练。

主函数代码：
3 ^5 n5 u( L. N  }0 o

• clear all
• close all
• clc;
• [X_train,Y_train,X_test,Y_test] = divide_dlbcl();
• Y_train(Y_train==0)=-1;
• Y_test(Y_test==0)=-1;
• % number of features
• numF = size(X_train,2);
• [ ranking , w] = mutInfFS( X_train, Y_train, numF );
• k = 100; % select the Top 2 features
• svmStruct = svmtrain(X_train(:,ranking(1:k)),Y_train,'showplot',true);
• C = svmclassify(svmStruct,X_test(:,ranking(1:k)),'showplot',true);
• err_rate = sum(Y_test~= C)/size(X_test,1); % mis-classification rate
• conMat = confusionmat(Y_test,C); % the confusion matrix
• fprintf('\nAccuracy: %.2f%%, Error-Rate: %.2f \n',100*(1-err_rate),err_rate);
  4 \& G! D8 i" m

   
$ f& h# E2 V) O2 F8 L" k' z1 f
2 e5 b+ Y- d4 ^; wmutInfFS.m

1 }4 Z, W+ x1 m% V& t  c

• function [ rank , w] = mutInfFS( X,Y,numF )
• rank = [];
• for i = 1:size(X,2)
•     rank = [rank; -muteinf(X(:,i),Y) i];
• end;
• rank = sortrows(rank,1);
• w = rank(1:numF, 1);
• rank = rank(1:numF, 2);
• end
    a' ^' G, b9 U6 Q; h0 m

muteinf.m

+ |, r  I7 Z9 u

• function info = muteinf(A, Y)
• n = size(A,1);%实例数量
• Z = [A Y];%所有实例的维度值及标签
• if(n/10 > 20)
•     nbins = 20;
• else
•     nbins = max(floor(n/10),10);%设置区间的个数
• end;
• pA = hist(A, nbins);%min(A)到max(A)划分出nbins个区间出来，求每个区间的概率
• pA = pA ./ n;%除以实例数量
• i = find(pA == 0);
• pA(i) = 0.00001;%不能使某一区间的概率为0
• od = size(Y,2);%一个维度
• cl = od;
• %下面是求实例不同标签的的概率值，也就是频率
• if(od == 1)
•     pY = [length(find(Y==+1)) length(find(Y==-1))] / n;
•     cl = 2;
• else
•     pY = zeros(1,od);
•     for i=1：od
•         pY(i) = length(find(Y==+1));
•     end;
•     pY = pY / n;
• end;
• p = zeros(cl,nbins);
• rx = abs(max(A) - min(A)) / nbins;%每个区间长度
• for i = 1:cl
•     xl = min(A);%变量的下界
•     for j = 1:nbins
•         if(i == 2) && (od == 1)
•             interval = (xl <= Z(:,1)) & (Z(:,2) == -1);
•         else
•             interval = (xl <= Z(:,1)) & (Z(:,i+1) == +1);
•         end;
•         if(j < nbins)
•             interval = interval & (Z(:,1) < xl + rx);
•         end;
•         %find(interval)
•         p(i,j) = length(find(interval));
•         if p(i,j) == 0 % hack!
•             p(i,j) = 0.00001;
•         end
•         xl = xl + rx;
•     end;
• end;
• HA = -sum(pA .* log(pA));%计算当前维度的信息熵
• HY = -sum(pY .* log(pY));%计算标签的信息熵
• pA = repmat(pA,cl,1);
• pY = repmat(pY',1,nbins);
• p = p ./ n;
• info = sum(sum(p .* log(p ./ (pA .* pY))));
• info = 2 * info ./ (HA + HY);%计算互信息
  9 G1 e4 w  X8 z6 P% {

   
/ H; U$ m( ?/ D" s# E- [
; {: i9 V" @" ?前100个特征的效果：
3 b4 Y  \& O# [% l% m
/ [) q; Z! ?' @: ^: bAccuracy: 86.36%, Error-Rate: 0.14
2 |, p1 T0 w$ e# B) b. e& X0 [& d
( Z6 T1 x- Q6 h5 a, v4 r; B2 y选择前两个特征进行训练（压缩率接近100%,把上述代码中的K设为2即可）的二维图：


* F. V% K8 Q$ R+ D  h( F/ A
$ N3 q, B. G* t7 ?9 D' ~8 oAccuracy: 75.00%, Error-Rate: 0.25

ExxNEN

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