学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
( Z; x' h. W& v; ^4 f5 Z/ k7 \（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。
* n# J* c1 p2 u8 H: h0 O$ v, j
为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
- W3 l: C" }4 w# r
- w0 ^5 X* [, G1 G现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B

其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  

根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下


一、在Simulink中建立微分方程的模型
& e. R" d$ n. z* O) I$ D- t至于Simulink的建模本文不想详细介绍，
* i0 J+ [, Q( |+ w0 c7 ^& A, P9 q
/ g7 Z1 ?4 Z+ r) Q7 m$ ^3 k2 l; z在工作空间中对变量A和B进行随便赋值
: b3 X- O  w$ I, ?: C/ D3 H# z

• A=10;
• B=20;
  3 N0 a' k; j; f, z+ U! N- N: E: z

然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。


9 I; C6 D$ D) z' p" I' v二、修改模型中的输入输出
为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
4 _7 J& e: O9 {5 p$ S7 t（1）将“时间”模块替换为，in模块
（2）将“示波器”模块替换为，out模块
- W% T2 L. t- d) r  s7 r8 Z3 ]2 F
& ^$ C+ j; ]5 _1 t
3 `+ r# H' c( q$ a三、导入测量数据到工作空间
将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行
& R2 {. Z! I# k) W

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  1 ~+ m6 F3 M# v0 f5 i; `6 c( q

4 t/ A# G: ~  c+ Q* h) l0 l3 P  G
% [7 J8 r; @9 I4 T! M四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
当前工作空间有如下变量

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  * l1 Y: F% ~# N5 b

5 Q8 @" ?5 d3 E请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！
& L* I5 S8 l  ^3 O

（1）启动Simulink Design Optimization工具
4 V6 E2 ]- O; f! T6 o通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具
/ Y6 L8 J, ^# p3 T- M5 m

（2）新建和添加用于拟合的实验数据
点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。

点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。
% Q$ F# {0 E  T$ c

（3）新建拟合变量和参数设置
; @  c( ?" k$ v: C点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。

% q5 J* s3 w4 [8 @1 a% I+ j在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
. V0 `! c+ D4 S" y+ s- ^
  z6 b3 K( W; _. I% g
0 ~! x1 a' s6 R* ?. M（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1
0 \- A$ |1 x0 M; |# b
# O9 p/ a- v3 K, i点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。
- z6 C* Q7 M+ f8 n  b3 T% O) V
8 q* `9 C6 R1 U! L接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。

, t% K3 O, R  M: Y0 B求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。
$ R3 i* `+ H( k2 b6 p* c* P5 }0 I
求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。
/ i" H7 r3 @( ~, X& @6 V2 @# @% z
拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值

拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。
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1 H# F; N( {9 Y; G有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？

（5）接下来还有那个Validation
0 g7 z/ @  @( k其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！
1 G, n- C; {- Q9 a9 q9 {& m( F
最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！
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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合