怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数

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怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数
, }! p+ Y- `* q; v
: m( q! k* K2 R( g
数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。
泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。
; c% I! d/ d  ~5 Y! ]+ Q7 [
如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。

表1 几种常用的窗函数的比较

0 Y' {) k, x( ]  M4 Z  I! q, |# t$ t

名称	特点	应用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。	如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。
汉宁窗 Hanning	又称升余弦窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。	是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。
海明窗 （汉明窗） Hamming	与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。	与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。
平顶窗 Flap Top	平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。	由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。
凯塞窗 Kaiser	定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗，给定β，则旁瓣高度也就固定了。
布莱克曼窗 Blackman	二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。	常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。
高斯窗 Gaussian	是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。	对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三角窗 （费杰窗） Fejer	是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。	如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

7 t! Y. Y' A( ]- c7 O
3 ~# q  H$ \8 ^( B0 C/ Z下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:
4 Y* x+ X" r- d, l8 |
" B3 J  Y& Y- g4 L# O& Z+ D附上DTFT函数（dtft.m）：

function [ X ] = dtft( x,n,w )
2 f/ ^" D- L, X) i$ n  n6 g
%   Computes Discrete-time Fourier Transform
) N! P# V/ V9 p! k0 _
$ W9 M9 C+ d; g: r2 c9 F%   [X] = dtft(x,n,w)
9 n% a' l  m& m$ s; Y8 U, H3 P
. D# L! L2 h- b  o6 J  I%    X = DTFT values computed at w.frequencies

" L, C6 ?  L% t& f+ V  @%    x = finite duration sequence over n

%    n = sample position vector
& Z$ _. l2 E% r0 P
%    w = frequency location vector
! Q; r( j" M+ i0 @6 G( a/ ]8 r
X = x*exp(-j*n'*w);
, ~: ^% T! f0 g' `% d3 [: S
2 h# x4 E& h6 M& K1 T1 A; C: a$ e! s%

7 L3 F/ w& u# I) w! V5 ^) Z6 Vend
9 n) M* `, B- _8 C

& V6 I/ h4 p- s8 W/ s) D3 R
/ e* b0 U3 j6 C% _( y7 i  Z矩形窗:
: L# @( l$ b7 @8 X$ B
%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101
) u: C0 D! G: h( U& s) H! N
clc; close all;
, c, }5 z9 x& t. x; b7 r0 k
. D( D/ |& j7 x& K! UHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');
% n7 N- j: B0 W5 l
* ]* u6 M" C4 O. E) h' lw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
5 u; I% _/ i" ^/ z2 K3 O
! k, ^* J- B3 k1 y% M=10
$ @. l8 u% e8 C% e6 w
+ k% U8 B6 p* {) L- L* iM=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

/ c* ^" h3 `4 @, y& V+ T. sX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
5 n9 I2 U7 o( b  r3 i
5 z5 Z* {9 S" m5 g4 |subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
( s" k5 K( h1 j' L* g4 l( G+ r
ylabel('|X|'); title(['M=10']);
  _; W5 c) F2 N7 z* T5 a* q
+ D  f6 d6 n( v# P: O' u! wset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=25
: Y. ^5 Y8 j2 x( f1 ]
2 y; n5 y4 ~4 M3 z" gM=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));
9 G6 x8 t1 ]% X4 k: p, ]
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* Q5 {0 x1 A4 p. r1 f
) |0 F; R) _0 Y- p2 \subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
+ a# ~" M/ [; r1 V% E% |6 W0 J3 g
: d; Y) v+ o+ m$ s; C! T% M=50

& H" P8 H, l% w6 ~" L/ wM=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));
5 }  ]1 Z1 y% T
1 L5 M" R) C: P5 VX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* z) Y' ^9 {5 N0 k# Y
2 r5 c  E* i7 Msubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
. @( p6 N/ m2 i9 B# W4 W# i1 v* J
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
4 }1 |( F' e& w4 s
% M=101
+ S  i5 \8 w* @/ {
M=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));

: y+ i6 a* K! r% ^& |1 e+ z/ w6 LX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
- K& @0 U" T& V& U: @; d
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
$ S# ?# |, |! [- D% Q% A
7 k' l8 F% ~* etitle(['M=101']);

. ~3 H1 N: `4 z- ~% b, [
三角窗:
. k* _" j& O4 I& n4 O/ D
" ]/ H" F( L' m$ H- @$ Z2 W# e% Triangular Window:
  l3 I/ S6 h3 i
% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');
: ~, y+ k* W0 ^2 {. O  \
, Y" Z5 o0 G/ x) t* L. Y/ G  hw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
7 |; x% `, C# j( E
% M = 10

& K2 U- R% i' {2 t9 E! j1 {M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

2 K8 p# H" R1 G% ^6 `! R: @1 s. px=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
" T6 N; J. D& k- j! B% Q+ T
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

) G1 n8 l- m0 S6 yset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25
0 M) X5 X1 `" u8 \
8 T: K2 }$ l6 D. ^0 [M=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

5 E5 w: G. ^) m& O3 }X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

3 E3 w& @4 b& D! D3 w3 ^title(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
' c! z" {3 J+ T8 f0 `4 ]
4 d6 Q( W$ ?+ g" z: X( c% M = 50

+ d% C" b/ E8 H8 DM=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

+ r+ w; U3 l; \" oX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
& P  a6 L: r/ I
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);
5 _: w( `" V  C4 W+ G
/ O' _! o$ M0 v6 @% ?/ mset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
! Y  z' E) A: i( z# t
% M = 100
# g: M/ m2 p% T1 T$ b4 y; t
M=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

* l2 d7 Z$ b3 ~X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
0 Y9 \  X7 K' q; W" X/ `
2 \; m9 p/ {* j' H, ]) S" a% H$ w

* `4 E6 q, x: c; c2 {  T海宁窗:

( c4 X, x* C  Y' @  x* }% Hann Window
, z) k% ]  i- O- j' {
% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101
- M3 q; x  L0 H3 t
% y1 N/ W* \+ r  }' p4 Rclc;close all;
4 e& ?* u0 ]8 x0 u
Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

# \( v3 ^4 M, W0 K5 ?$ ?% M = 10
; Y$ |- R( O: i& h% V; c: S% V
" D. V, g+ w' f- cM=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

( U; t  d" {1 i, S+ y! P: mX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

3 ^5 q2 Z' J) v* ~* A( Nylabel('|X|'); title(['M = 10']);

% |1 Y; r- F( k8 T8 _- ^set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
+ n' ~- ^& D+ ]- b# \
% M = 25

M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
* i4 k% k+ X5 V3 u/ D
  n4 m1 w1 v: g/ ]8 D1 PX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
% a: d0 W; Y1 {  y
. `$ P) Q7 k# L+ q: C1 u2 Osubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

# L. E) W; r' ?4 r title(['M = 25']);
7 e3 [* d/ z. k$ n
9 Z0 l& e- S/ |/ y# r2 Eset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
2 Y. T8 v# H  i+ C8 R6 U% S1 D
% M = 50
4 F* o8 }  Z# o3 M
M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
1 X3 t& X) n. e0 J0 x2 l
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* n' s% h& x; d. [+ y( Z0 f0 ~
+ f) x( u4 W4 x' y9 [3 I- j- X8 Nsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
* e" g$ [; z$ h: o
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

5 T0 @( S0 v; G& H( A" D4 sset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
2 U, n( F8 n' @7 ^9 S7 S
% M = 101

1 [/ T) X$ c0 k5 O- v0 YM=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

' D& X! z' Z- z0 D. }X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
  O# @2 P" ~& [4 ]" i; @
7 F4 l4 j' W8 x4 U$ V$ b" H* lset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
. l' U; K' h( I

( ?7 [6 E, [1 ~0 l哈明窗:

" T! ?, \3 d0 N6 u& [9 ?% Hamming Window:
! f0 Z2 h% V2 ~5 |" f* m
clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');
2 [8 L% U# I: `6 h6 N
$ ?. Z1 u2 e+ O+ [( dw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
" {' U4 t( m$ x7 U' Q0 b
  V: y/ ]% E: Y$ ], M, L% M = 10
# f  \9 s0 l6 J
M=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
  K. G( ?" \9 c/ f
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
4 Z4 j! y* x4 J/ G
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

- Y+ s3 Q7 d+ G7 y/ \5 R- Q) B0 P ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

/ L  y6 W, I8 U# Gset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

5 P  _1 o8 ^. q4 J. {( M; b% M = 25
- }% k5 J( y/ N, b+ K4 ^
M=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
& _2 Y# D) e. q8 I9 s
( q6 w8 Z! C2 k" {5 D; Ssubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
* X* b. O  y0 b" H/ Q) x
3 A0 |! R3 F; A. s. A. Q6 a% f' Ptitle(['M = 25']);

% h6 b( |/ O( z/ H- z- i. Y4 eset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
6 V- ?) G4 L6 x9 z' p
5 M6 A6 }" P% Z% B+ J" L% M = 50

M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
; e$ v. Z* d# r: W5 O- n" a
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
  y) P! O7 ?! Q7 H! V% h
subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
  S6 j) {. i2 o' E% E* D  E. ?
6 y* t  A) Y) }( R$ V) ^xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

1 _: w; [* V; _" s3 X% kset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
1 \  E  A! Z! u% y% q/ x* H
: p# o3 K, n3 g5 T+ D5 u( ^% M = 101

M=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

! J1 U1 _; f9 B2 P- Z4 A4 NX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

8 W$ O' n1 p( @: w3 _subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

! T3 {, u3 F1 R" Zxlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);
$ p8 l0 w2 h) m  [+ E  j
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
6 [2 p1 g8 m" g6 R( J3 e. x: a+ j
1 X5 F+ g- @. G# [* H

# v: W0 _/ I" c

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