矩阵A-pascal(4)的 Cholesky怎么分解？

Cholesky分解法又叫平方根法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。对于一般矩阵，为了消除LU分

解的局限性和误差的过分积累，采用了选主元的方法，但对于对称正定矩阵而言，选主元是不必要的。

定理：若对称正定，则存在一个对角元为正数的下三角矩阵，使得成立。

* z' t/ p" F2 O7 X; v

Cholesky分解的条件(这里针对复数矩阵)

一、Hermitian matrix（埃尔米特矩阵）：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。

Hermitian意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等

二、Positive-definite：正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)

Cholesky分解的形式

可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。

可以证明，只要A满足以上两个条件，L是唯一确定的，而且L的对角元素肯定是正数。反过来也对，即存在L把A分解的话，A满足以上两个条件。

如果A是半正定的（semi-definite），也可以分解，不过这时候L就不唯一了。

特别的，如果A是实数对称矩阵，那么L的元素肯定也是实数。

另外，满足以上两个条件意味着A矩阵的特征值都为正实数，因为Ax = lamda * x,

(x*)Ax = lamda * (x*)x > 0, lamda > 0