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! C5 r+ C+ a3 q2 N% j- C& t q总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
/ l2 g# t; d( p X7 n5 N（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。. v7 ~+ d; j0 ~8 _8 W* U' ?
（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
v5 ^: a! n% m& W, x（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。3 [, a+ N5 U: V$ k
; Q6 x) z4 t4 q9 f为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！$ a" v; T S- W$ }, T' n0 B
% y) ]4 ^$ o/ g; I; M0 ^. D
现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B2 i, ^, a# L) o+ V
& X t2 f1 ~* H2 s" K其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程- D0 N0 J( C! o5 f _5 R' s
- A=50;
- B=10;
- x0=1;
- tspan=[0 100];
- odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
- [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
- plot(t,x)
; D4 o' a b& ^& l
2 p1 Y( o& S! ]& L1 b) w
根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下
- {9 ~* r* @) A9 i* [) h8 V
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6 H1 m( K; j+ j一、在Simulink中建立微分方程的模型
7 U- ~6 f2 ]: x0 N& J) Y0 D+ z' N% Q至于Simulink的建模本文不想详细介绍，, s0 f; ]% [( U0 U
; v: ~$ p, z* y! @: b: @. k, O: u; |在工作空间中对变量A和B进行随便赋值
/ Z% ~$ L1 v7 ?$ F/ m V- A=10;
- B=20;
# g- O5 x4 R) A: s9 ]! e
9 o% g1 Z9 ~! n! h' W3 U$ G1 E
, H( M# }7 Z1 I" t# W5 A. d然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。
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3 q N' y7 Z! g2 p5 _9 P3 E
' Q$ j0 s! K: Q& V) x二、修改模型中的输入输出1 y- p+ ?) i+ H8 I0 c8 P) _
为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。$ }7 K9 s" T* U8 x; s" }! J
（1）将“时间”模块替换为，in模块7 [5 D+ q7 U1 |# }- ?
（2）将“示波器”模块替换为，out模块
$ \+ P' |$ O' @& N
, Q d- d7 F6 d" c) j
9 Z# S. I# @5 ]: V: a$ u! [7 Q
三、导入测量数据到工作空间
8 \! ` t) K5 E0 W' p将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行4 G$ b; Y) s. _- a7 P3 K
- >> tx=load('data.txt');
- >> t=tx(:,1);
- >> x=tx(:,2);5 t6 ~- G6 C, E3 a
c( w' c9 r- m7 y
' L/ `( z( {! Y8 U
四、启动Simulink Design Optimization工具并设置$ M+ L5 l, l3 E' g- q
当前工作空间有如下变量; q' J, g- V1 V/ x3 w" c
- >> whos
- Name Size Bytes Class Attributes
- A 1x1 8 double
- B 1x1 8 double
- t 8893x1 71144 double
- tx 8893x2 142288 double
- x 8893x1 71144 double. T) j8 o% |- n/ m1 Y0 z
- S" {7 S3 S# G5 R' u6 R: p
( e6 q' Q! m& h" R0 [, W& U请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！
! c5 s) y" `- S. G7 b5 F2 h Z, Y6 _
, i( O/ |# I+ \* g% p' T; E
9 _1 n" B. z5 b（1）启动Simulink Design Optimization工具& A1 j4 G( Q1 W; r* y4 M/ O
通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具
$ l5 L$ C- D/ @. C1 L
# q& M/ Y* D9 r
$ N% _1 H3 V8 I( p! w（2）新建和添加用于拟合的实验数据4 V, M f6 G; R) n0 T
点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。
- I* A) q, t' k$ ~4 G
) n. n% b7 Y+ I6 A% c! ]9 p* s
点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。
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3 B, M- z/ k6 K1 M6 p& C$ m
- |* ], K! y1 J! ^5 F( m0 I3 Y7 \0 K
（3）新建拟合变量和参数设置
& t7 x* _8 R. g; Y: I点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。
* p0 F4 ?2 }0 {1 C: b# {1 @
1 }0 d) w% J& J2 S% s* n9 Y, ^
在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
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& f4 e' v4 k& h: @6 w（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
* G5 [& ?! p) j; w$ s T4 T点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit19 t* T0 ~( [5 S5 M8 t8 u
5 t5 K9 ~3 ^3 f, ^; ~ l- ^点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。
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接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。
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求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。+ u1 E1 K9 t5 f7 K0 q
* Z1 z, R4 T; f' G; w) M# S
求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。2 T, d& |" s' d4 v; o l! P) I% |
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拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值
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拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。0 { m* U1 z# y/ i; E& x7 ^
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有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？9 h$ q, E4 _% r4 ^; _* f) S
% g x1 \+ _- H7 }: g/ V. w& G: O, X（5）接下来还有那个Validation
0 s" T) E+ |! ~5 G' [# L3 G其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！
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最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！4 d5 y8 U6 D9 U4 w
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发表于 2020-2-14 10:57
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