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) \5 E- r% n+ `# j3 j1 D6 ~- O
一、稀疏矩阵, @" z7 n4 g( q) c4 @8 O1 @
! {' h, ^4 o! c! X* i对于一个 n 阶矩阵，通常需要 n2 的存储空间，当 n 很大时，进行矩阵运算时会占用大量的内存空间和运算时间。在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量0元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。Matlab支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素。由于不存储那些”0″元素，也不对它们进行操作，从而节省内存空间和计算时间，其计算的复杂性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数，这在矩阵的存储空间和计算时间上都有很大的优点。
' V4 {# E& o; K7 v矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数。对于低密度的矩阵，采用稀疏方式存储是一种很好的选择。3 x2 j* D0 x/ [$ O, y
/ [+ G3 I" @4 Y I6 k( d" w1、稀疏矩阵的创建
. T# m$ q7 w' x7 e(1) 将完全存储方式转化为稀疏存储方式 函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时，则函数调用相当于A=S。 sparse函数还有其他一些调用格式： sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 sparse(u,v,S)--：u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标，该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。 此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。full(A)：返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。
( u- o, K8 ^/ y l$ l(2) 直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n)，其中i 和j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量，s 是非零元素值向量，m，n 分别是矩阵的行数和列数。, y0 f6 t7 J- v! b& O' h+ r
(3) 从文件中创建稀疏矩阵 利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。例：设文本文件 T.txt 中有三列内容\begin{bmatrix}1\; 3 \; 5\\ 2 \; 4 \; 6\\ 2 \; 5 \; 8\\ 3 \; 6 \; 9\end{bmatrix}，第一列是一些行下标，第二列是列下标，第三列是非零元素值。load T.txt S=spconvert(T)。; L6 \ T* ~) Y$ |! a2 D: k
(4) 稀疏带状矩阵的创建 S=spdiags(B,d,m,n) 其中m 和n 分别是矩阵的行数和列数；d是长度为p的整数向量，它指定矩阵S的对角线位置；B是全元素矩阵，用来给定S对角线位置上的元素，行数为min(m,n)，列数为p 。
) o4 {7 J( ]/ b2 K0 p9 z8 d7 T(5) 其它稀疏矩阵创建函数
. v6 H2 X; D& c, X% G6 \S=speye(m,n)
( Q& @7 {: ?- P% Z+ {2 @6 LS=speye(size(A)) % has the same size as A
' a/ d2 r' x; ?- }# ~S=buchy % 一个内置的稀疏矩阵（邻接矩阵）
3 h# J" ^' K/ C' H& J等等
2 Z0 E) S5 t: B1 r- r% z+ r \2 f4 b
% t- c+ \, h* Z) h" \4 F. m2、稀疏矩阵的运算0 l& k: I+ a- v$ |6 V6 Z
, f7 o0 }( y& `3 o R; g5 e; ]稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同，它的运算规则与普通矩阵是一样的，可以直接参与运算。所以，Matlab中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中。结果是稀疏矩阵还是满矩阵，取决于运算符或者函数。当参与运算的对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果一般是完全存储形式。 i4 M$ L# J3 o& f6 S% l/ z& y( A* _
0 U, o* \) W [( n6 ~6 Y l3、其他
6 c2 n# V: S( l: I% p0 f
. L8 I9 E6 L0 j& ?(1) 非零元素信息7 p& p j$ ~. `0 @
nnz(S) % 返回非零元素的个数* L$ V5 ^9 A/ V g4 Z
nonzeros(S) % 返回列向量，包含所有的非零元素
$ D7 V. I# I" a- Jnzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间
& Q& Z+ w: D; K% h& F(2) 查看稀疏矩阵的形状 spy(S)
9 z" w% o8 ?0 }; o; a(3) find函数与稀疏矩阵
% t; {9 w, F+ ][i,j,s]=find(S). @- K* ]) V! Z
[i,j]=find(S)
$ h) K7 \; e h. z1 w+ o6 m返回 S 中所有非零元素的下标和数值，S 可以是稀疏矩阵或满矩阵。& M& t! m0 p$ `! R
! y0 H( w$ s% V/ J z9 U
二、有限域中的矩阵
1 L' f* D/ _3 y7 L d+ l* u3 C. ~
6 B0 H0 f: ` T信道编码中的矩阵运算一般都是基于有限域的，因此需要将普通矩阵转换为有限域中的矩阵，使其运算在有限域GF(m)中。可以通过命令gf(data,m)将数据限制在有限域中，这样如矩阵求逆、相加、相乘等运算就均是基于有限域GF(m)的运算了。7 f) |7 l4 _0 ^) D, [; p' R- K
. N" O4 W& Q6 K
那么如何将有限域元素转换为double型的呢？可以利用命令 double(data.x) 其中x是后缀。关于有限域的详细情况请参考 这里。
4 w+ W% T$ e( m c$ g0 G+ V+ o M U* q. ~
% P* B; P; w; ?# ?% `% i" j解决方法：用\;代替&。估计这个问题是Latex Math插件的bug。呵呵，不知道有没有更好的解决办法。 |
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发表于 2021-8-18 11:19
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