基于matlab遗传算法求最短路径

thinkfunny · 发表于 2021-3-12 18:09

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一、简介

一、问题分析

如图如示，将节点编号，依次为1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11，由图论知识，则可写出其带权邻接矩阵为：

0 2 8 1 500 500 500 500 500 500 500
2 0 6 500 1 500 500 500 500 500 500
8 6 0 7 500 1 500 500 500 500 500
1 500 7 0 500 500 9 500 500 500 500
' |5 w- [/ ^) y# F& j" c3 f4 G

500 1 500 500 0 3 500 2 500 500 500

500 500 1 500 3 0 4 500 6 500 500

500 500 500 9 500 4 0 500 500 1 500

500 500 500 500 2 500 500 0 7 500 9

500 500 500 500 500 6 500 7 0 1 2

500 500 500 500 500 500 1 500 1 0 4

500 500 500 500 500 500 500 9 2 4 0

注：为避免计算时无穷大数吃掉小数，此处为令inf=500。

问题要求求出任意两点间的最短路径，Floyd算法采用的是在两点间尝试插入顶点，比较距离长短的方法。我思考后认为，用遗传算法很难找到一个可以统一表示最短路径的函数，但是可以对每一对点分别计算，然后加入for循环，可将相互之间的所有情况解出。观察本题可发现，所有节点都是可双向行走，则可只计算i到j的路径与距离，然后将矩阵按主对角线翻折即可得到全部数据。

二、实验原理与数学模型

实现原理为遗传算法原理：

按所选择的适应度函数并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行筛选，使得适应度高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信息，又优于上一代。这样周而复始，群体中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。

数学模型如下：

实验具体：

第一：编码与初始化

因采用自然编码，且产生的编码不能重复，于是我采用了randperm函数产生不重复的随机自然数。因解题方法是使用的是计算每一对点，则我们编码时将第一个节点单独放入，合并成完整编码。

因为节点有11个，可采用一个1行11列的矩阵储存数据，同时，由于编号为数字，可直接使用数字编码表示路径的染色体。具体如下：

采用等长可变染色体的方式，例如由2到9的路径，染色体编码可能为（2，5，1，8，4，6，9，3，10，7，11），超过9之后的编码，用来进行算子的运算，不具备实际意义。

第二：计算适应度，因取最短路径值，即最小值，常用方法为C-F(x)或C/F(x)（C为一常数），此处采用前一种方式。于是，可进一步计算相对适应度。

第三：选择与复制

采用轮盘赌算法，产生一个随机值，比较它与累计相对适应度的关系，从而选择出优良个体进入下一代。

第四：交叉。

因编码是不重复的数字，所以采用传统的交叉方法，即上一行与下一行对位交叉，会产生无效路径，于是，采用了不同的交叉方法，具体如下：

（1）在表示路径的染色体Tx 和Ty中，随机选取两个基因座（不能为起点基因座）i和j, 即将i个基因座和第j个基因座之间的各个基因座定义为交叉域，并将交叉的内容分别记忆为temp1和temp2。

（2）根据交叉区域中的映射关系，在个体Tx中找出所有与temp2相同的元素，在个体Ty中找出所有与temp1相同的元素，全部置为0。

（3）将个体Tx、Ty进行循环左移，遇到0就删除，直到编码串中交叉区域的左端不再有0：然后将所有空位集中到交叉区域，而将交叉区域内原有的基因依次向后移动。因0元素可能较多，在程序实现时，我是将非零元素提出，后面再合成。

（4）将temp2插入到Tx的交叉区域，temp1插入到Ty的交叉区域。形成新的染色体。

第五：变异

染色体编码为从1到11的无重复编码，所以不能采用一般的生成一个随机数替代的办法。此处采用交换变异法。即随机产生两个数，交换两个节点的顺序。

二、源代码

clc;clear;
%初始化参数
%注：popsize=200,MaxGeneration=100,约跑2分钟。若不要求太精确，可减少循环次数。
pointnumber=11; %节点个数
Popsize=200; %种群规模，只能取偶数（因67行的循环）
MaxGeneration=100; %最大代数
Pc=0.8；Pm=0.3; %交叉概率和变异概率
A=[0 2 8 1 50 50 50 50 50 50 50
2 0 6 50 1 50 50 50 50 50 50
8 6 0 7 50 1 50 50 50 50 50
1 50 7 0 50 50 9 50 50 50 50
50 1 50 50 0 3 50 2 50 50 50
50 50 1 50 3 0 4 50 6 50 50
50 50 50 9 50 4 0 50 50 1 50
50 50 50 50 2 50 50 0 7 50 9
50 50 50 50 50 6 50 7 0 1 2
50 50 50 50 50 50 1 50 1 0 4
50 50 50 50 50 50 50 9 2 4 0]; %带权邻接矩阵。
A(A==50)=500; %取值50过小而修正为500；
Bestindividual=zeros(MaxGeneration,1);
outdistance=zeros(11,11);
outpath=cell(11,11); %用于存放11个点相互之间的最短路径
%****** 生成初始种群 ******
for a=1:pointnumber %起点的编号
%a=1;
tempvary=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11];
tempvary(a)=[]; %暂时剔除起点
tempmatrix=a*ones(Popsize,1); %将起点单独放一矩阵
path=zeros(Popsize,pointnumber-1); %声明矩阵大小，避免减慢速度
for i=1：Popsize
temprand=randperm(pointnumber-1);
path(i,：)=tempvary(temprand(1:end)); %生成一系列剔除起点的随机路线
end
path=[tempmatrix path]; %合成包括起点的完整路线
[row,col]=size(path);
for b=a:pointnumber %终点的编号
%b=10;
for k=1:1:MaxGeneration
for i=1:row
position2=find(path(i,：)==b); %找出终点在路线中的位置
pathlong(i)=0;
for j=1:position2-1
pathlong(i)=pathlong(i)+A(path(i,j),path(i,j+1));
end
end
%计算适应度
Fitness=length(A)*max(max(A))-pathlong; %因要求最小值，采且常数减函数值构造适应度
Fitness=Fitness./sum(Fitness);
%****** Step 1 : 选择最优个体 ******
Bestindividual(k)=min(pathlong);
[OrdeRFi,Indexfi]=sort(Fitness); %按照适应度大小排序
Bestfi=Orderfi(Popsize); %Oderfi中最后一个即是最大的适应度
BestS=path(Indexfi(Popsize),：); %记录每一代中最优个体的路线
%****** Step 2 : 选择与复制操作******
temppath=path;
roulette=cumsum(Fitness);
for i=1：Popsize
tempP=rand(1);
for j=1:length(roulette)
if tempP<roulette(j)
break;
end
end
path(i,：)=temppath(j,：);
end
%************ Step 3 : 交叉操作 ************
temppath2=path;
for i=1:2:row
tempP2=rand(1);
if(tempP2<rand(1))
temPm2=fix((rand(1)+0.2)*10); %因起点基因不能改变
temPm3=fix((rand(1)+0.2)*10); %随机取出两个位置为2到11基因座
temPm4=min(temPm2,temPm3);
temPm5=max(temPm2,temPm3);
temp1=path(i,temPm4:temPm5); %将两点之间的基因储存，方便交叉
temp2=path(i+1,temPm4:temPm5);
[c d]=find(ismember(path(i,：),temp2));
path(i,d)=0; %找出i行在i+1行取出区域中的数，置为0
[e f]=find(ismember(path(i+1,：),temp1));
path(i+1,f)=0; %找出i+1行在i行取出区域中的数，置为0
[g h]=find(path(i,：)~=0);
v1=path(i,h); %取出i行的非零元素，成一向量
[l m]=find(path(i+1,：)~=0);
v2=path(i+1,m); %取出i+1行的非零元素，成一向量
path(i,：)=[v1(1:temPm4-1) temp2 v1(temPm4-1+size(temp1):end)];
path(i+1,：)=[v2(1:temPm4-1) temp1 v2(temPm4-1+size(temp2):end)]; %基因交叉
end
end
path(Popsize,：)=BestS;
%************ Step 4: 变异操作 **************
for i=1：Popsize
tempPm=rand(1);
if(tempPm< Pm)
temPm6=fix((rand(1)+0.2)*10);
temPm7=fix((rand(1)+0.2)*10); %产生两个用于交换的随机数
tempvessel=path(i,temPm6); %交换前用一临时容器存放数据
path(i,temPm6)=path(i,temPm7);
path(i,temPm7)=tempvessel; %变异交换
end
end
path(Popsize,：)=BestS;
end
[aa bb]=find(BestS==b); %找出终点
Bestpath=BestS(1:bb); %剔除后面无用的点，留下实际路线
outdistance(a,b)=Bestindividual(k); %将最短距离写入矩阵
outpath{a,b}=Bestpath; %写入路径，因数据类型为矩阵，所以采用元胞数组储存
end
end
for i=1:pointnumber
for j=1:i
outdistance(i,j)=outdistance(j,i); %实现距离的对称
outpath{i,j}=fliplr(outpath{j,i}); %实现路径的对称与翻转
end
end
%*************** 结果输出 *****************
outdistance
celldisp(outpath)
%xlswrite('tempdata.xls', outpath) %存入excel中进行操作
! x4 W" r/ a3 Q" @) L% L) |6 T( p

三、运行结果

距离矩阵：a(i,j) i表示起点，j表示终点。

outdistance =

0 2 7 1 3 6 10 5 12 11 14
2 0 5 3 1 4 8 3 10 9 12
7 5 0 7 4 1 5 6 7 6 9
1 3 7 0 4 8 9 6 11 10 13
3 1 4 4 0 3 7 2 9 8 11
6 4 1 8 3 0 4 5 6 5 8
10 8 5 9 7 4 0 9 2 1 4
5 3 6 6 2 5 9 0 7 8 9
12 10 7 11 9 6 2 7 0 1 2
11 9 6 10 8 5 1 8 1 0 3
& ]5 V& Y' ]0 q$ L; _0 @, B

14 12 9 13 11 8 4 9 2 3 0

路径：b(i,j) i表示起点，j表示终点。

outpath:

NingW · 发表于 2021-3-12 18:28

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