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标题: matlab实现数值积分 【二】（integral函数） [打印本页]

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作者: ubeautqq    时间: 2021-2-9 14:17
标题: matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
0 }2 x! W7 D# u目录
. C2 ^& W$ l$ [, Q7 V2 d函数调用格式
8 d( r" J/ s5 m# m  j应用举例
0 k: C$ @, U. @  \$ R3 m例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
- K$ w! r* C( [# {' a/ G( D例3：与梯形法比较
- r; Z+ G7 \( J+ n例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分


% T, V$ @8 |) w/ c* ^2 U# P函数调用格式
+ A) p5 ^/ n: G  y" f5 C


; ]" C. Z1 k9 I5 s

+ ]7 Z) B" f4 {( i应用举例

. l1 E% e9 n& b- }7 A+ A" F例1：求解数值解并检验其精度
计算积分

3 L. ~; b3 D. u7 a( K2 n) g

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  . b9 A: L. \* m# U( b

结果为y=0.96610514647531

3 c0 Z0 F5 N5 M: b求解解析解：
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
' O2 u/ q; |) y: N1 I" ]结果为：y0=0.96610514647531
9 R& a1 O" ^$ }/ L
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。



0 d; S+ e* u; q; v/ r8 T3 |8 F例2：分段函数积分
; K. N9 i2 [5 N( J* U1 a* ?
给定如下分段函数：
2 W4 F' a9 a+ w2 R4 J
9 r4 ~% K+ V% X# {' L​        

• 计算积分值 。
  

2 h; Z! D# Q% g# w6 g绘制 填充图
" O' v3 o3 B" m

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

- \0 }4 A) A. l9 A( W- n4 ^& `8 P
! @  K0 U' S& o* q

• 求解与验证
  " g% d' ~/ h* k  `% f2 D( `

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  ) U  y, ?) U/ V! u! d+ T: i

结果为：
9 O4 D3 d$ k6 S+ U! ?
$ y% Z' \" o3 ~8 M9 V' |: P- Z变量        值
I 0 I_0 I
2 y3 M  |& I5 g! M8 U0
​        
（精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
I 1 I_1 I
0 b  S- {- S0 y& Q& L1
​        
（正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
I 2 I_2 I
- e. p0 S2 u- _# W. {4 `% Z2
​        
9 P) Q) p1 B4 \/ r6 ^: z （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921

; z0 s& o& g3 O+ ^


例3：与梯形法比较

7 ~3 F( E- L  N重新计算积分

+ O! J% }. M+ W. s- Y
' Q. H; X- C6 p5 M- `

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

& U% @3 Y# t3 V8 p

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

) D- N. {0 I4 b结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。

# h7 x" A% K! v$ }' C9 b, ~( O

; K; h% y  `7 x4 v; e; X2 U2 E例4：大范围积分
$ q* Q( \5 L- j$ l) B0 K% e! t
计算积分
1 S( N( o0 ]8 X: w$ D3 @2 J

: W5 g" d# V( q7 |/ V- y' h

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066


- p1 ~/ u5 ?% n, [# d5 X
例5：广义积分的数值计算
% U& G6 ]. U# c- I8 q4 \: j( ]! c) r
计算


6 F6 k2 a0 b' X. o+ M9 u

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  

" [7 c9 v& T& b/ h4 J1 i解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957


6 u7 K" W4 Y3 o2 \3 g
例6：含参函数数值积分
0 r: b' h' ~+ }0 j1 K
绘制积分函数 曲线

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  / E6 I& J  U) t2 L

: h" \" }5 r5 G) p

# O9 ^4 J! o* j  {

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作者: ExxNEN    时间: 2021-2-9 14:55
matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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