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/ q. [- N# U, @5 K# \/ h# E* m I
总的来说微分方程参数拟合有三种方法：; S1 T, w' L6 O. B/ u
（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
+ k( F; u8 o* i# V5 b: }（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
3 N7 A, u1 A7 ?% D, L8 K: s（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。% f# W7 s, _% ~( a% ]
: |; j4 d$ @* b1 A( D( O为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
: u: w. Z: [+ v( B# ^; i$ w0 M$ r, v% i Z. V
现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B
. P3 h8 N. [8 K' z* K
* H, \* y; o7 P, t: r8 L: D其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程
0 I+ Y+ ^3 a; G; c( i- A=50;
- B=10;
- x0=1;
- tspan=[0 100];
- odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
- [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
- plot(t,x)
: @2 {" K8 b- y+ z( {# J( M8 n- U
% Y# p" i w4 ~/ O根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下2 Z8 R/ d) g5 [6 k* p! J
3 [ p7 ]8 W B. W# V$ G6 Z1 }5 W' F4 m2 m& g
一、在Simulink中建立微分方程的模型
6 E4 U0 J7 t9 f0 n至于Simulink的建模本文不想详细介绍，% o1 e: F, T1 J9 J% e: c
8 x+ n# y" D8 O) z; A4 K
在工作空间中对变量A和B进行随便赋值% }0 e( y+ g5 h9 L+ Q3 n
- A=10;
- B=20;6 U+ I( K7 b7 I* }% u
# c1 ^7 }, j9 e$ w* G. |' U
: \" d5 ~! w$ k! E* a( J* Y) w- u然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。
/ W6 d- J5 @: [ ~0 t/ A. q
4 t* N, k7 v K$ Q# G1 _6 g* F/ w. |- K) i; U( t/ M. n) F2 l
二、修改模型中的输入输出, ]* i& y1 X0 y9 B
为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。' ^) b4 K p0 P9 v
（1）将“时间”模块替换为，in模块
! n3 Q% a0 j0 T- h' `（2）将“示波器”模块替换为，out模块
' W! K7 W# @$ L7 @' n, n
& j- Z: C* w+ W( a. r
# f9 [6 D" R& ^3 a1 e( e" E& _6 x4 }" G
三、导入测量数据到工作空间) ?; Y* K( o! h& a4 A4 F6 d& t
将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行" Z+ ^2 X9 W6 i) q
- >> tx=load('data.txt');
- >> t=tx(:,1);
- >> x=tx(:,2);
" P6 m/ [" h+ O7 e9 F! q
! G9 b j( w+ O; }7 z/ l& B( J+ f& |" f
四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
5 K7 Q g4 ^# J+ I/ u当前工作空间有如下变量
7 x3 S2 }" b; t e5 ?- >> whos
- Name Size Bytes Class Attributes
- A 1x1 8 double
- B 1x1 8 double
- t 8893x1 71144 double
- tx 8893x2 142288 double
- x 8893x1 71144 double% V6 @0 d; j: Q/ x! W8 ~
8 T A* f# ~9 q. l+ l( k& B
% J! h6 Z/ o# u/ k$ c( v% C请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！
2 A1 T4 a/ d; _9 f) X6 Z6 a0 M, x. V
9 g' e4 |3 K4 A2 V2 f5 v' T
% {1 [7 I) i$ L/ ?/ L) t" {0 [4 W（1）启动Simulink Design Optimization工具4 @) t' v8 |$ K3 m5 S
通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具( N' T% l: n% _4 j
% \1 w, e+ Z/ j' N }6 k% O+ M; g- h* J0 Y$ Y3 l& E
（2）新建和添加用于拟合的实验数据
) `: s, a1 l, w7 |+ T% M# O点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。
% V! Y4 @4 w. ]# o* z+ u7 A
5 ^6 T" |- I/ G, ^
点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。9 M4 L/ j& U# a! E
+ P: t" O3 G0 u3 z) v Z( L7 h
（3）新建拟合变量和参数设置
?; \0 `+ r: {- `* }+ D6 c点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。) h* [( U3 F l) o7 c7 x& u$ I( n
$ F# T$ H8 F" m9 z7 m9 b
在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
- ~5 D* W4 j. ?- p) {
9 ?! k8 y Y, R- b& V* u# ^ n1 y/ q: @( V9 Z1 C
（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合 m. M3 C/ [( X6 c; l# n
点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit15 B8 t" D7 U- e2 a9 o
+ ^6 D2 c! I# d0 V" H$ K点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。' f0 b7 R9 X% B# U$ g$ v8 I
. Y3 I N7 `, L! n8 @. c) V
接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。; G2 T; e9 J \. @5 B
: X8 s) b! B0 a6 {# t' q求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。
1 i7 P H& S3 C% _0 r" l3 B0 P \+ J8 `
9 u9 w$ g/ k/ o& y' K, p8 d' A( S求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。
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* |$ E$ o* j" ?5 A m6 r拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值" ~. j, f3 N+ z+ p
: T* ?: s# _7 J9 l; z拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。
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有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？
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+ z7 Q; \4 }( M6 @2 b$ |" z（5）接下来还有那个Validation
4 }0 {% y4 r Z其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！4 U% N- ^/ ^, p7 B
, A/ N3 I9 \' p9 K. t' q9 ?$ r- H
最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！
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" x F3 k* F% `7 z, @/ M! ^. J6 ?0 }0 x( j4 C
+ J: I( M0 f$ m' b' O0 T) K# s5 A B1 | X: ]; i7 C) c
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发表于 2020-2-14 10:57
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