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标题: 对离散时间傅里叶变换DTFT采样 [打印本页]

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作者: mytomorrow    时间: 2021-2-25 18:45
标题: 对离散时间傅里叶变换DTFT采样

$ k. Z( M# ~  k: F2 o0 {! F
8 [: q% V' @1 {# K( Q/ [7 ]9 y7 ~上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
- I0 ?9 o! _5 A5 }( b4 m. ~


今天的主题：
1 b! v$ M* S9 u9 A* c( t今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：

2 M$ X; K' |  r- J2 S' Y" h6 M5 D  w先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

是不是有限长序列的周期延拓？
: g( ]1 V8 x1 [" ]% G
看下面的分析：
3 p8 K7 m( l' D6 W( u) F' T



/ f6 g& i8 x+ t


; K% A# Z. H  r& R1 G
" ^; J2 B( I, v! ~; K, j# T. Q可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：
+ ?+ T* O6 z( R/ S1 P
0 b# x. m$ ~/ L  b4 j- e% \情形一：
' ?6 w5 f8 Z9 F. b# m7 f8 R& k$ E在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
: }* _/ C' [5 }0 n( n2 }7 z% D% I

" Y3 D; ^* e; s$ ?. C

情形二：
2 q5 S6 h3 d5 q同样是这个有限长序列x[n]：



- n' r; r$ w- M* S当N=7的时候，对应的 为：
  e8 Q0 Y7 h# U/ F* h' \* i

& d, w3 E2 H  D$ _. k$ ]1 N
可见，发生了混叠现象。
8 t& q/ t) r: p" h) \! O
( C* e* y3 M; P下面对其进行解释：
  h9 s% r* p  e
& T7 x: Q: \* g) `) a1 J5 D情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
+ U: r) ^4 p( Z8 b) [" {# r) E+ A
- S* e' p" G) V. g2 L尽管如此，下式依然成立：
3 W1 N! o* c4 b! t

  Q$ E, h- p# v* A2 e; _0 P
  a# B* Q% x5 t5 P4 X; g也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。

( b5 b8 z/ g' A' a4 n. R对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。
; G. Q( |4 _1 J) ~- Q# I5 u
  o7 K3 v" g) A( O( o  G& `同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
% q4 ~- n0 H) [- S
与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。
7 g  _1 }$ B- ^. f2 Z* n5 M
% E1 F9 s( q3 T. B' V  U' d# S( D类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
# U* x2 }2 X! N' _5 D
实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。

显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。


最重要的结论：
从上面的讨论中，我们已经看出：
/ F% D0 i8 r9 b+ }
1 G- {7 I, @0 Z( D( ]

重磅内容：
2 N" `: f8 m$ o& ?; [) w: F
( a6 R, e+ S4 b$ L
7 D4 H& V' ~) m. g4 ?
7 U$ n& z  @' l4 k在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。

) O/ F9 j% h9 i# l/ e/ \$ ]1 q) D

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作者: younicp    时间: 2021-2-25 19:46
对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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