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标题: 对离散时间傅里叶变换DTFT采样 [打印本页]

作者: mytomorrow    时间: 2021-2-25 18:45
标题: 对离散时间傅里叶变换DTFT采样
本帖最后由 mytomorrow 于 2021-2-25 18:47 编辑
$ k. Z( M# ~  k: F2 o0 {! F
8 [: q% V' @1 {# K( Q/ [7 ]9 y7 ~上篇(对离散序列的傅里叶分析大总结(一))的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系,首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系,具体参看,得出的结论是:
- I0 ?9 o! _5 A5 }( b4 m. ~$ c, b. x4 ^/ y# \. Q  O$ m
: o3 u5 s1 ?( e0 J
. w) g$ w. z' j) V+ _! [* Y- B
今天的主题:
1 b! v$ M* S9 u9 A* c( t今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系:# t/ T; ?& n# V' v

2 M$ X; K' |  r- J2 S' Y" h6 M5 D  w先给出非周期有限长序列以及其DTFT,然后对其傅里叶变换(DTFT)进行等间隔采样,等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢?2 s  V% `  t( ]- ?
5 q, }) W; R  F+ @9 _6 `
是不是有限长序列的周期延拓?
: g( ]1 V8 x1 [" ]% G6 s5 o1 W- B, i4 Q/ }$ W- Z
看下面的分析:
3 p8 K7 m( l' D6 W( u) F' T$ l5 Z. D, @$ d4 K! M9 p" m% X
1 F# w, J3 u3 O5 p. c2 F5 M
0 r' \/ H: ?" B( z2 \8 @+ U1 @

/ f6 g& i8 x+ t + |( X2 ]+ @% h3 `" `  d
/ \9 s; `. Z( X+ d* l& @

; K% A# Z. H  r& R1 G
" ^; J2 B( I, v! ~; K, j# T. Q可见,是一个周期延拓关系,延拓周期为N。6 O9 l2 g" E/ {9 |4 V% S1 x
5 e: O  d% d& Z
有意义的举例讨论:2 P6 W# g6 o' a0 _: l7 t  `
下面再给出一个十分有意思的讨论:
+ ?+ T* O6 z( R/ S1 P
0 b# x. m$ ~/ L  b4 j- e% \情形一:
' ?6 w5 f8 Z9 F. b# m7 f8 R& k$ E在下图中,x[n]是长度为9的序列,对其进行傅里叶变换(DTFT)得到 ,对 进行等间隔采样,间隔为 ,取N=12,也就是间隔为 ,得到采样后的序列为 ,该序列对应的时域波形为 下图(b),也就是对x[n]的周期延拓,周期为12。
: }* _/ C' [5 }0 n( n2 }7 z% D% I1 p4 P( D& e! u4 P$ T( O

" Y3 D; ^* e; s$ ?. C; S& h4 |9 E6 k
7 ], S& a- ^9 Z) u' p' p
情形二:
2 q5 S6 h3 d5 q同样是这个有限长序列x[n]:: [4 J: H. q+ Q  v0 L: S& L2 h
1 h4 Z( ~) A  I, J' X
* g9 Y  N9 b5 x" m" t

- n' r; r$ w- M* S当N=7的时候,对应的 为:
  e8 Q0 Y7 h# U/ F* h' \* i: T) r% `/ M# H0 U/ b

& d, w3 E2 H  D$ _. k$ ]1 N& ]3 |: b1 q) r( i2 c% l
可见,发生了混叠现象。
8 t& q/ t) r: p" h) \! O
( C* e* y3 M; P下面对其进行解释:
  h9 s% r* p  e
& T7 x: Q: \* g) `) a1 J5 D情形一的情况, 的一个周期是x[n],这是没有发生混叠的情况,但对于情形二, 的一个周期就不再等于x[n]了,这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
+ U: r) ^4 p( Z8 b) [" {# r) E+ A
- S* e' p" G) V. g2 L尽管如此,下式依然成立:
3 W1 N! o* c4 b! t, m; z1 m6 y& N0 o, z3 ^& f/ L. Z

  Q$ E, h- p# v* A2 e; _0 P
  a# B* Q% x5 t5 P4 X; g也就是说在这两种情况下, 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。1 J- y# `! g+ p9 c  b7 {( ~

( b5 b8 z/ g' A' a4 n. R对于情形一,原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。
; G. Q( |4 _1 J) ~- Q# I5 u
  o7 K3 v" g) A( O( o  G& `同样,傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
% q4 ~- n0 H) [- S$ h: t3 J; J, |: P. T7 T, t
与之相反,对于情形二,x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。
7 g  _1 }$ B- ^. f2 Z* n5 M
% E1 F9 s( q3 T. B' V  U' d# S( D类似地,如果采样间隔只有 也不能由它的采样来恢复。
# U* x2 }2 X! N' _5 D; ~! u9 y+ I! a* u$ d0 e
实际上,情形一说明的情况是,已经用足够小的间隔(在频率上)对x[n]的傅里叶变换采样,以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二,表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。5 F( |9 E6 V: c5 w/ G4 `
& |8 r$ k, z6 z( I
在欠采样的情况下, 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。5 u7 Q2 ]8 U7 C' n' i$ K
' k% B- T: l% }* g* Z, Y* F5 x
显然,只要 为有限长,时域混叠就可以避免,正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的,其频域混叠也可以避免。/ q2 M# w. s5 g1 ?! i
+ X1 E* x7 A1 q
1 j5 q) c; N' O/ K/ p
最重要的结论:3 o# I, i% E8 P3 t
从上面的讨论中,我们已经看出:
/ F% D0 i8 r9 b+ }
1 G- {7 I, @0 Z( D( ] 6 S9 p$ G8 Q- m* k; u* R
1 s8 b- f# z4 G( C. J  ?1 x( A- V
重磅内容:
2 N" `: f8 m$ o& ?; [) w: F
( a6 R, e+ S4 b$ L
7 D4 H& V' ~) m. g4 ?
7 U$ n& z  @' l4 k在推导、讨论和应用DFT时,我们应该始终记住:通过傅里叶变换的采样值来表示,实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列,该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。) R* i- [2 l& g: d% J

) O/ F9 j% h9 i# l/ e/ \$ ]1 q) D- \6 a; Z3 o7 T- T0 I3 z2 z$ G
, N6 c* G7 n6 ?6 B2 O! {6 k* _) K

作者: younicp    时间: 2021-2-25 19:46
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