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标题: matlab求解极限问题（limit函数的用法） [打印本页]

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作者: ulppknot    时间: 2021-1-22 18:38
标题: matlab求解极限问题（limit函数的用法）

; A8 b6 Q, }$ L$ e; W7 n本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
目录
单变量函数的极限
极限的定义
普通极限
0 w& Z1 Z% I* K/ O* ^左极限
右极限
3 c: O" ^/ w% B" z) Jmatlab实现方法
应用举例
! I2 U5 b/ S% ^5 m) v: M( h多变量函数的极限
matlab实现方法
5 I) ]8 q( e. A) a0 S9 v7 O) ~6 O8 y应用举例
  m$ E/ p1 K) m/ _2 I单变量函数的极限
极限的定义
* k6 A9 ?4 ]2 T1 j3 [  P6 {& K


0 U4 W# |4 ]' G$ @( {+ s
/ w- E6 A3 C( l8 b. M/ I1 g2 nmatlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  

& q( \8 R  i% k1 o# C0 }
9 K# f! m" a3 e' z8 [# J应用举例
0 q. \* p/ A* i- b" \求解极限：

2 l* T' q1 W) P; }+ p) X
* C  e! f, O/ R​        

' f7 j! }: W! j

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  

6 B$ t& t0 r, }求解极限：
- g, H1 ^6 Z) a; [" l5 F$ K& ?
6 `$ A1 T& K) j2 C) o

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  ( w2 W+ r; c! Y6 w

* l7 y; b, f& r求解单边极限：

2 {' c, B& R6 x9 a. J6 m9 o
. \& E0 o7 ~( B7 z6 M% H$ H
/ a4 _2 q& A! q2 P! i' b

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  # w$ W/ E: n& N- C+ N6 k" }) e+ D5 {" i

& Y* [! e6 q, E* T( }4 Z3 Z5 o
8 q" v3 q8 S3 G- ^2 f$ Q用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
/ q+ G1 D6 \; O, U/ f3 N' E2 [
, c. g/ U* K2 }& H8 \

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  1 S4 ~4 e+ G6 m: J0 }9 `

函数曲线如下：

可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
1 Y* @0 h& G3 ?4 Z$ ?
* m9 u. i( ?0 t4 @- ?( R4 x

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  

, S3 F; N  N- L3 `% @( U1 f
, f# c% P( a& R! v# o" x! ?: R/ `求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。
  Y) P' Z1 {2 z# p5 j

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  

8 O" q. t. D. d! {, ]
2 D& ?$ f! W4 c- O; g  n  F) t求下面序列的极限

/ P3 R4 D/ E" o, O) ^4 z

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  

% [5 k- X; _# N' U# K7 s
7 l1 Y# K* N1 Q  W. ?7 x/ S求下面序列函数的极限
4 {$ X" P9 r/ y' t
* \6 E# y) n0 i, B* c/ \

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  # N- A' N: U' A/ t9 ~. e/ d) \5 [1 E

# O  _2 X7 ~2 e9 L0 \
0 K5 Q; B7 S6 F7 E& m2 i, M多变量函数的极限
matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

7 F; G$ W2 C0 M! B2 s' ?9 Z假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:

# W- r- y4 a# N$ M3 v  b

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  

3 l6 j' Y9 @9 k. I
如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
; `' r/ p: Y! ~- P+ c
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
7 o; u' [' y" R" e$ g8 h$ E( K, w

( t$ ^/ b7 C& z- D+ Q" B& L) F
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

- W; [, Q* l7 Y$ R5 u3 e. H1 b& X应用举例
试求出二元函数极限值
: Y! U0 T; v% \
" g+ w7 V0 x2 m( z1 w

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  ! |) G% V1 E- o

重极限的尝试 ，求解重极限
8 l5 f4 ?7 R  z( q3 ]$ i  @

" E$ r6 m9 ?4 V( M" }

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  4 G. q- R/ y0 A1 J$ r4 b9 G8 {

+ q. Y0 z- a! _. Q: ^* j; z! l5 G
判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

5 @! A8 j7 V1 `- s

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  & \. U& f: b' n* p3 w8 J' K

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作者: NingW    时间: 2021-1-22 18:59
matlab求解极限问题（limit函数的用法）

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