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标题: 线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数） [打印本页]
作者: mytomorrow    时间: 2020-10-23 09:59
标题: 线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）
5 R3 Y8 v6 g6 z
目录# ]: K  A& k2 C: a

  }! X% Z3 o9 q3 J序言
) s# T5 ~! M  w5 Z+ w
* b0 p+ l: k$ ?0 V' z( k$ }) U8 \一类重要的基本信号# F# C! D$ l5 b
: F( b  r( n. Y* z0 X
线性时不变系统对复指数信号的响应8 |2 A6 E, }9 q  G  G/ f

# Y1 ?* ^: b0 o& \% Q% w/ j" h  `特征函数以及特征值定义：) L+ _$ w/ E! C" F  R
8 p% i. {: }. N
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
/ {) I/ [9 t: Z2 P9 W! b3 w6 E! e) }( I7 d
简单运用上述性质
2 \& m9 k. F0 V) C0 Q% u9 Y
6 e6 p9 j  U% R. ?9 z, N序言
' O4 ^, \: ?  l复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
3 @1 G* Z4 K1 z; D% b! T
* `) ~; L$ [/ c它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。, c# M+ `  b( u7 m0 f
+ j5 e9 z$ X6 I. Q/ a# _
看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！
; A5 T# h3 ~, A2 W* J0 Q
/ ]& _* b1 K, @! v2 m  W一类重要的基本信号2 w& y5 Y* j7 y
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：; V0 D* j" e" _" z

2 H1 g1 l' [2 a" [8 v  V4 n, M1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
8 P1 T/ K9 I9 k  {& s& V
# J& }5 y; A% X0 Z4 N9 t0 o2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。
* n6 \" G" t, s: i' o  ?8 L5 q) }8 z3 h. j
那什么样的基本信号满足上面的条件呢？( T! ~3 M! @% s( `, j1 C  v0 m
) s; ~: |6 Y9 q% H9 v
由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。
8 A* D- m4 R4 G. x5 Z3 _4 n
" `3 g& ]* j9 z9 b6 l% `, r- p/ q线性时不变系统对复指数信号的响应
) C1 M9 `7 a8 \7 M" u& L基于如下事实：
# w1 w( A$ f7 f% P, d, |
" f) l; g* Z' `一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。
$ B" I; R7 r) H3 {% v! D1 ]6 ]) f8 n: c: J/ C) y  o0 _
连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：
. T* J2 p. l/ f+ Q2 X, q/ R: G# z" Z0 |: Z

6 K: S  R1 e: J1 H- e. d- I9 y; t3 V
9 j2 t+ {8 o  E5 L5 D! ?其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。. C. o! d: ^& [# d2 T9 o* _3 Z
/ f' h1 T% I. ]9 _
这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。: [# l6 _* V/ I2 |

7 r3 Z. @. _8 t特征函数以及特征值定义：! u" |* B$ O5 c4 k8 x3 Q
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。
. r" g$ A8 w7 O5 y# }0 R1 r. v( W' s& j) x$ r0 a5 x5 M  F
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
/ G3 w/ C, k1 @- }4 ^# e下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。
9 h- h) ]# @' G% f* g
; W( T0 \* w" V手稿：
8 ^  A0 D+ e0 p6 e) b* S0 p' L# ^9 b* `
& o  w3 i; x) ]; {首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为 - y5 D) ~& ?9 L7 v# d$ f1 E
, @2 q6 s7 R) ~3 Y  V4 R

1 _0 ~( ^- Q" F$ Z0 ]$ s! t  K% z. D3 q; {
这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。
+ ]3 P8 e5 ~! O7 i- x# G. L
- l% U' ?) ?1 e3 u# A下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：
+ M5 O* d" }3 I3 ~$ E" R
7 B4 c3 V5 T+ A1 }5 b; \
4 C& l1 X8 `+ n9 L8 ^
: n8 T- [5 L+ @: @! s* J同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。! e( I/ r- i/ r3 G' R* ^
" m7 C6 B% Q$ }5 ?0 Y5 i* I
简单运用上述性质& K$ x" r: t4 P  F/ `0 V- x
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！
) I9 |9 b6 Q/ K/ W% V5 l6 v9 E" a
1 \7 c0 M9 W0 |. F% r1 e3 r* o* K8 g我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？5 n* U* I+ [1 S0 I2 `& @

6 o! e- T3 J" O8 N( P# L. T（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）
9 `3 \9 _4 C; y+ P
, O* L4 m) u3 ]4 _下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：' ]! k) V" a$ h0 Q" c
4 C) C, F; c7 k. H% E, O

9 @$ `# J( x9 m5 a7 b5 q" P# P
: ^  \7 I6 g0 U  B* {离散的情况如下：% f% H+ F% a. m+ h& I2 }- b
( s) ]9 C/ {+ }- z! v

1 p' L3 H( B' n+ s% W7 y" Y. ]  A5 C7 j: \3 l# x
这其中的 都是复数。
3 V0 W6 c) g4 z, ~8 J
, s0 b( e. a* @6 F4 s' U3 r' y这就说明：! T2 [- |9 u1 n) _, \3 y

; \: y/ b! D' _7 g9 V# R对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。
作者: beachsun    时间: 2020-10-23 10:46
线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）



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