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标题: 在Matlab环境下演示符号计算 [打印本页]
作者: thinkfunny    时间: 2020-3-26 11:16
标题: 在Matlab环境下演示符号计算
9 j4 r2 S  |% ]+ m
符号计算的特点：一，运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；二，符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；三，符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；四，计算所需时间较长，有时难以忍受。
+ U  Y0 g; b8 a, Y8 c' ]4 |' t- c6 Z- [: J$ u
: \( E% h& k+ J
! i$ B( U$ o% @1 q* ?+ E+ l3 q  ^$ e8 D
5.1.1    符号对象的生成和使用! w8 {% T1 _/ ~" Q% y/ j* E
【例5.1.1-1】符号常数形成中的差异
, W7 l7 Y8 s- ]) k8 o* c; ?" M% V. M& L  e/ h9 k' P' p/ G" l
a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]                  %   <1>: h; e% f3 Y. l' x9 l9 R, _8 p

; r; n& e4 _! U: S+ y$ l$ C- j# B% }a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)])         %   <2>& T  t, o. U  ]$ l7 ]2 S6 P" M! f

: c2 e9 u  A' k7 Ia3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e') %   <3>0 q8 h( p( n$ h! A
' p6 J+ ]" \3 }2 j9 P1 ]: B
a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]')       %   <4>5 |- _3 D8 o  j1 V
' \. |3 x3 q- C2 W2 ]( m
a24=a2-a4  
7 I; K8 k# G8 D8 Z6 m; Y9 Z& [9 L) f! B# d3 L/ ~# C% D
a1 =
6 q# z! f% G/ R/ O( f3 k2 e1 V8 v( f& j+ {6 W
    0.3333    0.4488    2.2361    5.37776 P7 C' [3 ]  c4 X" e

; P8 a& i, l2 O3 v. }' ja2 =
2 j7 F7 D: D9 {0 v+ o- c! }) {. S& a+ y: ~* N
[                      1/3,                     pi/7,                  sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)]% A9 N. W5 G4 E  F( L& j5 K

. n* t& Z; f2 z+ ra3 =$ J" A1 Q% \" j6 P6 u9 e

( T: Z4 a# Q  b: P[               1/3-eps/12,          pi/7-13*eps/165,      sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2^(-50)]
) e5 |$ [3 w& X# M' e& d, l# {5 h5 }# K+ }) W8 h8 y
a4 =0 h: s; j; M6 U( z0 b3 Y

+ ]. k7 e0 ~* p5 c2 P[        1/3,       pi/7,    sqrt(5), pi+sqrt(5)]" K- V7 b9 a" ]# W

# y# T2 h2 f! ^a24 =
8 B# e# ^0 \" o- E' @6 ^8 c7 v) a  C8 z, ^
[                    0,                                         0,
% T7 g$ h. x0 A2 S- A
$ r! j6 Q: v9 h/ }                     0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)]  1 C! I1 j7 l" l7 _) O8 G

/ C8 i( y0 ~* A' a) i7 y # M+ E2 l$ b( [; ^4 r

1 z0 t* a& b. F3 a+ X! b
- n& v4 d( T% r0 ~, e4 T) R* q! z1 B' y/ q- s, P
【例5.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。
# t* @  M2 ]5 R! _1 x, d8 D5 ^4 a: j1 f, z" E  V: m1 h, R9 ?
a1=sym([1/3,0.2+sqrt(2),pi])               %   <1>5 N7 _! Q  M# i% Y7 F
: B" o3 D1 x8 X# C
a2=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi]')         %   <2>
2 Y: S3 w* P2 L; c( g. ]" B8 _0 C, ~, u# l' e9 ?. x! I- @! W
a3=sym('[1/3  0.2+sqrt(2)  pi]')       %   <3>
! r" F. w) A0 w4 a' b
. q3 H5 _  o: ^8 r9 M+ Sa1_a2=a1-a2                                      %  " @) `8 T5 g/ v$ B1 j+ c  w+ A

2 t) t$ [3 y7 C- y" H' `0 _1 ^0 ta1 =
0 Y( i: `$ \# M, B4 a
+ j! z2 j0 H/ f/ l; ~[                      1/3, 7269771597999872*2^(-52),                       pi]
5 d" W* u# F/ h3 r6 Q1 W4 y) S
7 d) B( g6 v; Y  K3 d* `) q  Ea2 =
4 o; K3 _" ?3 f: |! @3 N3 |8 X# b, Y
[         1/3, 0.2+sqrt(2),          pi]
' t3 U) o) T: i7 m8 f9 d+ z: S" Y" m$ R. q/ G  n
a3 =
) M5 }4 s* C' ~5 b- E7 P, O0 h) S# l% q- k, _9 g. X" v" r5 i9 N' A
[         1/3, 0.2+sqrt(2),          pi]
1 Y! ~( u& A% X7 U0 E: S6 M3 [( c8 G* C8 T' Y+ ]* @. [5 e
a1_a2 =
* p5 i% t# }( m. ?' W3 n3 ^; R$ J- B3 G
[  0, 1.4142135623730951010657008737326-2^(1/2),                                         0]  5 w7 `& d3 s- d
; C7 ]+ {) @4 Q! i8 y- Y
* C% C+ n1 _8 y; [' w3 _1 _
  _+ `6 k) R6 q. z$ z. I- p+ ]

* @% i$ p" ^" _$ n9 J8 [8 n' H& h# z
【例5.1.1-3】把字符表达式转换为符号变量
( }% A8 U8 C" v( Z$ x9 `. O+ Y$ S- x* g- c7 w$ W
y=sym('2*sin(x)*cos(x)'), `' O2 k4 J5 z; z7 Y$ x

3 ?: B& |9 |( _; Oy=simple(y)
) f1 ?2 a1 k- ^9 y" Q# q1 g" D4 j  c  I8 G, U1 y2 m
y =
+ u( C' g; s7 n, S' I: X4 Q# p5 a, @: ]4 X
2*sin(x)*cos(x): r/ t8 @& O" ]$ u! B7 ]3 e; o

$ k$ ^. K: ?$ ?5 Oy =
& S( b! g- E. `$ `: W' Z
" G) P8 u+ ?  Jsin(2*x)  
! k$ _, t4 X8 i- Q5 M! r# _! W- \6 L5 d& M7 q
  A' X: c0 Q. v" z3 I
, m/ ^7 K* f1 d) m

; o/ o+ A7 @/ q5 ?2 _* C' Q" \2 I* ]" m9 _: G! E9 a1 d
【例5.1.1-4】用符号计算验证三角等式 。1 q- v, t9 `) b: J( S: f

5 d1 Y. ?& ~. i1 u3 osyms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2))  
$ p0 b4 `% m5 u" Z* O/ p* [7 C  r' K0 ?3 h
y =( O& _& R+ Z! D0 Q' m7 |2 o
1 n( \# |) C% f' n
sin(fai1-fai2)  
" a, P% H/ v4 s8 a% y* F1 H
4 Z, m% w. d3 a) n 5 m2 `1 F& P  v

4 c3 ^" I  B7 e$ M3 Z4 Z
& b( ^- y: a4 C& U
! H& @# \0 J7 {" ]' b7 r% N【例5.1.1-5】求矩阵 的行列式值、逆和特征根
+ ~0 _; {* w1 u4 p  l% R
1 b1 ]; K+ J$ [: W4 I. `syms a11 a12 a21 a22;A=[a11,a12;a21,a22]. I; C9 U( \0 O6 X+ V  b( l

" y8 O% x; K4 R1 h; Q! ^DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A)  ( [* E8 j, |5 l6 \7 |7 m$ B
$ g2 b2 N- T3 S0 {( Y
A =: }+ U$ H5 @) o7 o' T' q6 Z: |/ f

6 g- r! H( b) _  ^[ a11, a12]- w5 ^# K) [- ?' Y* L4 t, }
5 F" f1 @8 u+ v
[ a21, a22]4 F" |( U/ W# {0 `

( O% t" @" G. I$ BDA =. J/ H' h0 s7 S$ P8 B0 C

3 V% [. p0 j/ O. q( H: y5 Wa11*a22-a12*a21; M. ]( M0 _- s8 J. M; i

. @0 ^% s# P, Q, m) QIA =
6 A# h4 ^4 Z5 q
( F6 `% ?. d/ M[  a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21)]
0 p( @0 @' Y5 o7 }6 e, c+ Z; n( |5 Z8 ?( i/ D9 \
[ -a21/(a11*a22-a12*a21),  a11/(a11*a22-a12*a21)]; N4 O3 \+ d  N, T  P+ @

- b! T) ?) V- H9 M1 ?3 ?EA =0 ?( D) [. I5 n5 s" d, f# W

& O9 _5 v; Q$ F) k[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
7 l7 p. [5 i9 `4 @& }' ^5 @
8 i! a+ j4 ?$ T& @8 T1 i[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  0 I" ~/ H3 U3 {
! H: g, T' D5 @6 ^5 ^8 S

0 E3 P6 b% }. [% o# ?
) ?1 ~+ f; @3 F; C4 l3 U数据对象及其识别指令的使用。
2 S) J0 Z0 b0 y2 p" ~8 P% o+ Y7 J) ~( u! B- Q( f
（1）
' S  G2 W  G3 l: {" R
+ d9 f& \" A+ t. yclear,a=1;b=2;c=3;d=4;+ |/ K$ W% m. A4 `

( p: i9 l+ t. ^! w$ kMn=[a,b;c,d]
0 z' A, o# n8 `+ F# Y7 x  t+ P! \5 K' I; Y; f  e
Mc='[a,b;c,d]') x; j6 D) m2 ]5 s# c9 F; A' P) B
& c0 y* l0 ~! A  `2 w1 w4 w+ i
Ms=sym(Mc)  
9 P- a( ?1 q; T1 c' l
' |/ J% t) X# j' NMn =
- \, v& t* \: b: K# z- x2 r6 y5 D0 ?0 b3 k2 n% c8 i3 p
     1     2% `8 p) p4 l* y3 g

& ?0 b. p/ R) T9 _( `; C$ g5 F     3     4: w6 q9 M" y1 E; H/ R* y
# \& e/ F4 r, I6 g6 h
Mc =
' F( g; _# ^/ Y9 t' [5 D( q9 i- u' U3 j" L  K7 {  m% }; U, t; J7 F# e
[a,b;c,d]5 e9 e$ s! J7 \$ B$ [- N
) f9 N- p# A* c
Ms =
( }. i* o: y7 X; _& B
. f* a4 r8 {3 c[ a, b]
, X) @# E' c( N. b5 g  r4 G# |7 P8 F: F8 d. X7 n+ S$ U: d
[ c, d]  
7 m: R2 u4 C4 T/ E: v: l8 T, p4 n8 g

$ F. B1 K" n! o' g4 d( u8 I! X
; W* ~+ g8 I- Y7 \（2）  n0 m0 i$ O2 v9 R4 g/ h3 f; ^

/ x2 m# ^8 J) \! k/ w: ^' h5 Y2 ^: YSizeMn=size(Mn),SizeMc=size(Mc),SizeMs=size(Ms)  
) r: _! D6 S# I  O7 Y
" h7 `6 ^- X2 bSizeMn =
3 F! q+ C" A+ B6 Q# {/ b5 W3 J
9 W$ @0 l  T3 k' h& Q! q     2     2
# t4 c% Y! L) R* }: s5 ~, B4 I
& {% ]2 F. X( z' hSizeMc =
. q- h. Z* @7 E' g+ a
; U# S( l! V! c, v! n     1     9, @' @5 |+ F- e
6 i$ Y, p5 x: E
SizeMs =
- B5 l: B; y, F2 t  q  g4 O# H# u/ u) a4 F  L) V! `& Z# b& [- F
     2     2  
" D" ]" Z% W$ ]. F' D' U' ^
$ U, x- n- G1 c) ] 1 K; e! A% ]7 _2 q

8 l0 Z/ Q5 a9 \9 p1 s（3）
# |) h# T& _' Q/ z. |) K" z' Q' N7 j& e& R1 Z6 m
CMn=class(Mn),CMc=class(Mc),CMs=class(Ms) . j: d3 D* Y; s! _/ j* }

; A7 k4 J" G5 S5 p! `CMn =
( \1 h! }5 e& P  B9 {5 v, M
3 c( x" `. @, T( r8 U- D- ^double+ A. f: q  R& `6 U# Q0 n9 X# t: t
) n" I5 q9 `5 ^& v& C4 D2 C
CMc =6 m9 u; m* U- n4 \3 `0 h) V

" S9 H7 V+ d& n: Y! w/ L: @. ochar, ^" E, }- R/ S( V! `* _5 ?
0 b! @( ~1 O2 ~$ i) Q; ]
CMs =+ q1 N# q0 p4 U8 z/ @
! ~1 R9 O! J3 M  E1 Z0 f5 p
sym  
8 m" ]0 |1 ^3 U. ?8 j$ Q0 |
  f: [! p2 n- u
$ R: G8 M) Y/ A5 h" c" q- C' i- ~
. p' ]& j  k1 f4 P- x
  p$ d$ v) ^3 [7 y" m7 t
, ~6 j# Q8 r5 _% C对独立自由符号变量的自动辨认。  @6 |4 l* t1 d' \) `5 y

  k2 U0 X( @5 L（1）; I% Q3 V9 t( E7 p
3 e5 J% E2 R- }2 z; r
syms a b x X Y;k=sym('3');z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)');/ @5 d; K- K/ I- o/ S$ w0 M

# E7 ^1 I0 ]  cEXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y;  
5 {7 k- I& Z5 Q# a" D( R) u: G5 ^0 E. k  i+ I/ j
2 }5 v2 u4 F9 s( P7 R" T1 j' y

4 Z6 z  w# i1 S% L3 G' }7 b: u5 n（2）
8 d( S( n6 q$ c) {( K4 p/ l. e5 Y' \4 U! y: y+ _5 T, S
findsym(EXPR)           
* B3 W4 `0 T' S, h* i
" \" G' E5 x8 R. `. Jans =) ]9 `+ y6 O9 j( _9 K
9 U; e5 u8 d7 R! D. ]0 D& h# X0 M
X, Y, a, b, c, delta, theta, x, y  
# \4 m0 i+ W& S* R$ `! R  c. d7 G; a( g' n' w9 n

+ H$ B; x0 p; z4 r) G: H1 Y4 u, p8 \' w, J0 K. \. r
（3）
5 \. `% p) ]6 ]' h
; |% D4 P% q' qfindsym(EXPR,1)
( x/ E0 \$ t% V7 t3 ]3 M0 A" E; f! ?; k8 L6 r7 `" c5 d- B( i
ans =
: I6 m% P) Y: t. Y" v, b
5 W/ E% `! v) q' N# b6 J' T* Lx  
7 ^3 w) R; Z; J$ |- ~* W: F# @* f) X2 n- L) C( t
( C: W4 |1 F% p6 @" D. `
4 q4 Y8 }$ Q# L- E" b% M9 \
（4）+ A3 D" O4 ^8 F  N0 `) t
# \, E) }+ G1 _& ?" L8 I
findsym(EXPR,2),findsym(EXPR,3) 0 @: T: V! {# e0 P$ p1 Z* @

5 j$ _5 _2 g" n9 D" [, g/ f7 uans =; i3 Z1 O) B+ [0 V. N

* F2 y$ h/ Y' R" m* g* Wx,y
/ r* ]9 Z" O" q  K  T5 p* A
# u: O( W$ S0 U% J' j; Zans =
0 b! D% d0 H- G5 e6 D- i3 |4 j' P# G' _7 D
x,y,theta  + y% t! P9 t) y/ F5 k

2 Q2 d" t, B5 B1 P
3 `1 v7 F7 E' I3 E% ^
; n$ ~- p( n5 @9 f【例5.1.4-2】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。
5 G8 e- T6 F  F: o1 ^' i9 p+ {8 ~4 \3 D0 V# F
syms a b t u v x y;A=[a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v]; D& S# K# x( U3 @
/ x% P6 Q  Z1 M1 M
findsym(A,1)  
0 t3 N1 c6 W$ B8 r5 |: X, D: }' M' r" _
A =
# o8 ]# y, }* J; i# \; ]2 I) y5 h8 F& [: ^' }" G' I5 [* H
[     a+b*x,  sin(t)+u]
1 |- P& W, M6 Z3 F8 R9 D; G3 {8 {0 h. y1 |, x3 c- g( ^" R
[ x*exp(-t),  log(y)+v]
# ^4 t1 M2 B2 u3 ?* W- i" R' ~# H- I7 J9 q
ans =% K# I9 S! |  V5 k

$ G; q7 w' o' H3 Zx  5 N$ @) Y& ]' H! A5 y7 K2 x
; n  }4 R! d& v1 Y& L

3 g+ F, C3 G5 G6 P; J* b# c% v' h5 T5 T
5.1.1    符号表达式的操作( S  x; k8 ?8 ~0 t& `" V% v
【例5.2.1-1】按不同的方式合并同幂项。5 Q8 ^1 H* A. ~

# M* D0 S& m: ]( R3 FEXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
) l/ j& Y7 v0 S8 @! z% e
% h2 S; d% b; R$ {expr1=collect(EXPR)
3 B6 h! `( b3 ^, f, V* G! w( z3 L& \; M1 [
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)')  2 @9 |+ ]1 z; @6 @
& J4 L" L2 e4 B! y2 Q' C
expr1 =7 _# B+ A4 v, E8 f1 Z* n: Z( d  ~& [
# F, J6 v2 J/ p+ |/ @: K  z4 B
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)- W5 \( R8 `( @3 L
8 B( A  _0 p/ d7 l" r& ]. H
expr2 =8 s5 v7 B. f8 r) R$ B+ M
) U  c4 o5 r# f$ x
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x  
5 \6 n8 ^. R8 v4 c. F
) L# c, Z# r& Y8 o  G' D$ M# R0 } / J% W. f, E& [" J

* Y; \1 i3 h" \& W- n 0 m) y1 O' B- r" S( N! I' }
- a& n9 _0 Q* d# C- y
【例5.2.1-2】factor指令的使用  I) A7 R, ]2 M  ^2 l

% ~9 @' _2 A3 L1 |. k（1）9 O9 U; d  V: C1 c- p# Y) F

5 B5 W  r1 l: u3 H/ d& i. Lsyms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)  
# D+ c$ D2 B* r1 w* r+ d$ C. E  S8 M8 ]6 ^
! E9 r: [0 z( u) P& V" Hans =9 w2 g2 p. d. g* F
' X; G3 _; k0 S; @7 i2 ?& H3 r; F
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)  9 R! U+ m" ?3 |
" P1 y( [3 n/ W. t* q% b$ o% m

# N- Q+ I" w: e+ ?
& _6 \4 Q+ ~' a（2）     * E0 J: g& j  E8 k! \

: b, E8 H7 s- x  Y8 E3 j1 uf2=x^2-a^2;factor(f2)    _' a  n' X" [9 D7 X2 p

. l6 k5 m9 ~$ N) D1 ~  I2 _7 Bans =
7 T! a* ?5 {1 ^8 q% y  s8 J. ^; T% w* ^! e
(x-a)*(x+a)  6 I# m$ G" l/ Y# p) d4 ]

  E  x2 l( v/ Z% u, E7 A " K' u- d, u8 }  y" C1 z2 v) e# X
, M$ Z. Z! R2 f; e6 A
（3）
4 p$ J' G9 I% i- v# |1 N! Y8 g* @( p( V: f: _7 G7 u/ g
factor(1025)  ) n* F  S! }; R0 O. I
  Z3 u( x, d( y& ~* m( n  E* O
ans =  Q+ m, {$ ^2 w7 i2 [  J& [+ O5 h
6 K8 p  P" B# T' U
     5     5    41  
* B7 w& f9 X- A- c1 x6 ^+ f' p# a3 C

9 _) V2 j' R3 R, \* B* }6 z" _" L
! r( k9 W, N/ K. A' q$ i

. N5 Y: \3 ^9 o4 Q# k【例5.2.1-3】对多项式进行嵌套型分解4 w1 D4 J3 W$ j3 b
  _3 e, P& o$ V
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)  4 ]) J$ z/ [6 k- p% a6 Q+ S
4 x; g3 o3 [6 t, o9 u. p) V
ans =
& c* O: v3 f$ q6 x) n$ U( y+ x; I0 H+ K/ |% o% F6 ^) H4 x3 F
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x  
; J9 V7 X8 Y& c7 q9 @  s
' p* i. I5 F  `  r) }1 \& ] : r% H7 K  \( ~, M* T. {# T2 m& @
8 }5 n# @5 |2 j7 T# g

. p$ F8 f2 z$ N- b
" u$ [( F% w5 X2 l: Q( `用简单算例演示subs的置换规则。
( @9 E5 ?) i$ s# [; Q7 z
* Y. @; M* k4 t) d, k, c. `（1）' C) U5 `6 c7 D8 r$ V1 P
2 \/ R' j. p$ Q4 k8 H5 f$ z
syms a x;f=a*sin(x)+5;  
4 c" B! F: z' g- M! q) ?" \& H2 l+ u- p* y

- a/ i8 E% m" c% Y
; ^, X0 |' s7 r. o( z（2）5 }7 P4 h2 W& u+ Y$ M
5 W' m+ k# I! y% V( n9 m
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作者: CCxiaom    时间: 2020-3-26 18:18
在Matlab环境下演示符号计算



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