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标题: MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系 [打印本页]

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作者: ulppknot    时间: 2019-11-27 14:52
标题: MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系


上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

1 a# t  d  z8 Y' {/ |" _' \MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
; o0 ~- ~& s' s7 Q, |
" Z7 M  s- a4 t$ {/ ?为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
( d! H6 J% x; k' i! J
                   （1）
" w( s/ R! @. J! l+ e: }; _
9 Z1 A0 ]/ k: s2 l. Q其中：
8 z  g1 y% Z. ?; R! o7 W0 q5 T( w1 r

7 j  m) ?+ ]3 m9 ]& ?4 E
& ?' w7 x! M% R综合公式：

                （2）

为了对比，给出DFT的分析公式：

. ~2 m; u4 G+ I6 w% D                  （3）

' R* ?2 ^* f5 ~& p/ f9 M  Q  b                     （4）

; J. ]4 x6 v4 s" L& @
' W# I" t: r. P( M综合公式：

& Q0 Y! G* t6 D2 J$ o                      （5）
* v: H, e5 P+ x8 h: L$ d! K
6 C/ L2 S7 u- ]1 d! ?/ z# p                 （6）

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：
4 {* V- n- t6 ^7 P. [7 J
这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

& V% I4 L& F3 q0 _5 l: S4 h- R                     （7）
0 b' c, Y2 }- n8 b; s
那么，能求它的 z 变换为：
, G+ ^9 I! p0 ?% d0 i" ]" {( C
                                           （8）
  c! ?  ?& x2 Q
现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

                          （9）
5 ?  v+ b% N* ?
9 a- }9 E! ]2 ]4 ? 的DFS给出为：
0 U+ J8 ^. {% u, c; y% B4 s3 X
               （10）
: K) o! K3 \3 C) _" n1 T9 `
将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：

0 |8 ]0 m* p* T4 O% z( y; `3 b                                              （11）

9 V( ^. U/ g: m0 F  ]这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

. Z$ ?. D1 |- ^5 @: T) P接着讨论DFS和DTFT的关系。

这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

6 _# a" W7 d% ^# s/ L3 F" r2 j我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
% P$ K9 y5 ]' q2 j- {; W; b
* i: p8 \) b9 L4 ^! g先给出DTFT的公式：
( @# z# F! p% |3 `" K4 }; P6 `, k
                     （12）
' \1 G7 I' \3 u% K8 H
! Y. U9 k% `" P  s; O) k对比z变换的公式（8），不难看出：

" U% [" _7 H' s- M: `: X                                                     （13）

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
+ Y$ {6 R5 w0 v. r3 a
, {/ ~/ y$ h0 |+ U9 Q从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
( m2 h" z3 B- V; C+ c
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
( C; ?8 ~# }# A7 y3 h1 A! }: n
1 f1 t5 m- i$ }9 o( Q结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。

式（12）为:

, p2 F& i. v' ?) @+ X! I. [
( U  f! m+ D. t% f0 }
7 R6 U+ p" R" S2 V$ V5 a+ GDFS为：



0 h! s! D% z7 Y2 |' k( q& W
/ m: J% o1 Z) r
可以看出，
+ @* ]* l6 Q, J8 d
" \8 v, b  y; a, x( B                                            （14）

令
+ v1 Q: a% N& F& \/ h                               （15）                                          

. W1 N5 }: S3 i, Q# Q这样，

7 e+ }) R4 F5 c( s, G2 l  u! s6 t                           （16）
+ g5 }) e2 n/ A; W1 c  y8 h
这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

7 Z9 A6 o3 p! I& g  {由式子（13）：
( `7 R! B/ e4 S$ z. `


  d/ N1 s0 G6 d% @  t以及式子（14）：



可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

7 ?1 h/ ^4 Q2 |0 M间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
9 M  A% `# v3 ]


" J; f6 v5 [* X

! P% \& Q  [! f3 s/ @3 ]# t
  e9 [/ o9 K! `, c( P" C

( q6 ~3 k7 B4 N: e# ~$ Z$ p

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作者: hope123    时间: 2019-11-27 17:51
看看，很好的分享

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