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标题: MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？ [打印本页]
作者: ulppknot    时间: 2019-11-19 10:15
标题: MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

# k$ j* o& d9 {) |! |上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
2 A/ ?. q# [# g& d5 p  V
+ h! {! g2 p. J! p9 H; H+ `- B这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。" b8 w8 D& ]( t" V

9 h# r6 m! e* x; r" i为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：- f$ J* T( S9 D- b( L

  L& Z) x& Z' d7 m0 J0 A9 d7 q             （1）
  C% F) x4 @8 a, R
) t  {! D7 w4 S$ d其中：6 x. a7 Y$ b0 s) W, y& m

2 B  k* v$ Z' f8 i# C2 ?7 ^" F
3 I# t: j; c$ _- p2 S7 t' b5 R  w8 v/ u  ]# n0 O* j
综合公式：
1 X- u0 R  N5 [
  M  A6 {% ?' Z1 E; N                   （2）
7 j. l5 @- F* _9 |4 u7 l- ?4 n' X
! g* A- ]9 q1 s7 [  q
! r5 Z' D: c' `* I9 |为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。1 k  z( q, q( b: r) j/ ~, i

7 E, [* Q* R+ f4 R设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
' y% ~8 u1 D* F8 O5 G' v, l8 v! E$ ?5 P3 K
                   （3）
2 ]' {5 v! q: D4 I* [$ [
1 e/ ~8 r! ]/ B( ]0 F: C$ T! y那么，能求它的 z 变换为：1 I: X  o2 i, [4 F, U; l/ ^
                  （4）/ B: s/ U( \7 O6 f. |# O2 i. k9 b

9 \" W/ F1 ~; D8 S现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
! W2 b  B4 v. Y" u/ y% e+ u4 d0 `/ _
             （5）" X! |1 v) l3 l9 e& B/ d) X
2 a% T% q8 D( B. C! X/ C
9 ^/ [' C- F: _1 X( t7 _+ @3 G- H! W
接着讨论DFS和DTFT的关系。# u- R. d* ]$ |6 Z0 s. k. V$ F

$ X: e9 m7 \( ^1 z9 W我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：2 N2 a, x: ]: o7 H1 b
& F5 J! F, _8 E" o1 C' \5 q7 C
先给出DTFT的公式：
. G' ]6 i9 S' f  l: ?9 ]2 E; q8 ~/ o( D( d8 \! S- n: r
                   （6）7 y+ t$ `2 H. x; x
& G5 S* M6 Z, }; {8 L: a
对比z变换的公式（4），不难看出：
$ F1 t( \% [2 I& c, D" z( c6 }8 X
            （7）; @3 h" m4 w" a2 V8 L! P3 p
9 _% {+ L! U1 |! i1 k) ^- b" a
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。* r* U% `8 |( h: S8 L+ j( H8 j& @7 ^+ {

" O$ N* U: j; @. P; c从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
/ ?& V: M! U: Q* r# T/ o+ C- B( i9 z
$ m2 U& o6 B. {上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
5 }, z7 k( `" Q, p* z1 \# B) R) F1 d5 s3 p1 ~
结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。3 U6 V0 X, w6 w8 q+ ^3 z$ S

9 k+ F% u% k" h% q! S  N' v$ l式（6）为:3 `5 u1 X1 |* [. ]8 z
( e& A9 j' U$ u; l' ~/ k

+ b9 S2 Q$ J. j9 q" v# u5 m0 q) t9 c# ^0 U# T( g4 c
DFS为：# \) p2 h) P, z/ ?1 `4 y2 T' O

) p1 k$ w' a$ i1 a8 g0 N # W5 u% r+ ~$ {; @. E9 N% m

% \: A6 D. o; s  |
! `8 d& d0 F: K) |' `/ i, ~, u3 ~, w/ s# P! d( b$ W0 ~' }
可以看出，, {# n- V$ W  Y/ E. y2 y% n2 C

. {" t9 _3 E) O: m              （8）) [1 f( q5 ~1 O

; h' \# K5 N( s- @5 W& P; c0 L令" _( K* \+ j$ L! k7 A* t8 ^/ x. D8 S% I

7 n. \5 r/ x8 s! L; O                （9）                                           ) V+ |& G3 O( P) K3 Q8 w

2 Z6 @' E, H2 q6 W6 D* B这样，3 b- w. M# |8 H& M  N3 o& A

" ~3 a1 q( C: k7 g7 _* T2 v             （10）# [3 Z$ `  V  ]/ V

. c% v; k4 ~& @# q# B# ~/ {) }$ r$ z  d这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
( I) g0 {& {* `2 V$ S% C9 c1 t* T, z+ P+ v3 X" G4 Z
由z变换和DFTF之间关系：
- M( [7 G- N; p( K* J/ H& K  g/ u
2 Z5 q2 C5 p9 U , j( F$ N6 I* m& m  b
! J% ~. ^; X7 z2 T! t
以及式子（14）：
+ M$ ^& T! w$ ?, r+ F; Y" V5 ^7 j1 V% }

* W1 F" `4 m) C6 z+ T$ Z  O, |! x" z" q* @5 ]4 Q6 ^* G
可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。1 f3 `; v1 c  S/ j3 U% H
: ^4 W. e6 j) f8 c4 k# j+ S
间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。& Y& i" Z+ l$ M- B7 i( E

. {0 b7 W/ x" p, X " T9 [& i8 F9 H# [% H  F

+ h  S! N9 r+ I- k. V' m. \( i5 O
, Z/ ]' R% ]+ W- h0 |( l: n! x; j; `+ g- R

1 k1 s5 E) o! w8 M& l( u0 ~$ k8 e* M/ M* B- {: m0 l
/ i; S1 v& ~# f& S% K5 c1 x$ J0 l
作者: kinidrily    时间: 2019-11-20 09:23
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