MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

5 e; f% \4 S5 h" v9 A) \: u2 w5 K% l上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
* p  \8 Z2 I& g4 l; P
这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

4 b3 e2 T3 x3 }" V7 b# b             （1）
2 _! C! l7 ?2 ^, z7 y5 f- |- P$ w. c
+ L/ Z, l5 ]# G; q其中：
0 }3 w; c0 y/ |' i" C/ g7 Y9 d4 L
  ~: h7 l$ A9 J5 w; F. E
# ?* y1 |5 X' p$ x6 D
综合公式：
2 V1 w4 q7 }7 ?4 \9 ^
                  （2）
2 A! j2 Y) j5 m& f

' i: c: ]5 h2 s. P. e3 M为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。

: {/ |! Y, w7 e+ j; Z5 O, O设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
2 q& N1 l3 a1 ^( \' F
                   （3）
3 ~+ h; F! d9 l/ j* t4 O+ o
, y9 y* X* Z1 P那么，能求它的 z 变换为：
                  （4）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
+ p8 S+ V; D. i( L! z- T
             （5）


0 }7 M3 v7 r* b- o. y接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：
6 r0 |" b% X+ _6 d+ K; b3 H
3 p. z# t1 _, k' d3 O+ v                    （6）

对比z变换的公式（4），不难看出：

            （7）

9 I" C) c2 Y$ b; t% R为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
3 j$ A2 O/ ]2 e: F, ^; m5 P/ a1 m
) o. l0 c9 ?- n2 j' e( a从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
: N3 o7 @" ]# h' s1 I' f
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
# f6 R6 s8 p  U$ J+ c. x6 Y9 R
0 W  E) E+ h( t1 _( m) ^式（6）为:


% S& ?. j0 R4 F+ P" l0 k& R
DFS为：


+ z* m) [& M) h; w5 i' `; ^: |
" D+ o* J% b! g& w; S
/ T' y9 i6 \/ h8 w* Z+ B0 S
1 D0 ^9 t: ^: R可以看出，

             （8）
2 U- r4 A. z: T* W4 r9 q
令
# Z1 L- m" m/ d- O
6 Z0 k3 ?( d& c! [7 `, ^9 n- y                （9）                                          

这样，
; ]; s+ \7 |3 [/ O# k/ d* l- G/ E5 V6 r
            （10）
  w9 ?3 Z, s& y
4 v8 C) R. X" w& W这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
1 t9 T0 w; B" i0 C
由z变换和DFTF之间关系：
( L2 @1 n" C! G  t" I


以及式子（14）：
6 e6 ?* V+ `! D! P/ K+ k$ L: P


( K0 _' z* V% V' a. d6 j可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。




+ [- m; T$ e0 l+ ]4 R


$ D7 }6 K) \4 z( d7 X

kinidrily

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