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标题: 怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数 [打印本页]

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作者: uperrua    时间: 2019-11-12 10:47
标题: 怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数
怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数
0 k" X, ^' Z& @$ D, L. Q
2 W3 t  `+ \$ c$ T  H3 a7 x. w
' Q; `3 L5 d/ ~1 D8 i4 n7 p数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。
" i6 F! R+ N$ x1 J3 H+ ~* o泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。

如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。
3 k2 A- ^9 {& ?: i& N; I

表1 几种常用的窗函数的比较

名称	特点	应用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。	如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。
汉宁窗 Hanning	又称升余弦窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。	是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。
海明窗 （汉明窗） Hamming	与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。	与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。
平顶窗 Flap Top	平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。	由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。
凯塞窗 Kaiser	定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗，给定β，则旁瓣高度也就固定了。
布莱克曼窗 Blackman	二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。	常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。
高斯窗 Gaussian	是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。	对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三角窗 （费杰窗） Fejer	是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。	如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

, [) M$ K$ K! P

% q) N. ~& f0 I0 p; A. r2 ~1 P下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:

附上DTFT函数（dtft.m）：
5 D: B; [# j% a! {5 e
# @' c  v0 d3 Q5 }function [ X ] = dtft( x,n,w )

- g3 U: g3 T0 D: L; _) P8 z%   Computes Discrete-time Fourier Transform
7 V# X: f  ?% [& f0 w9 J) d4 f: W
$ w2 a* X& E) X' V% n: @%   [X] = dtft(x,n,w)

%    X = DTFT values computed at w.frequencies
! @9 b0 p# D6 ^0 E. Y. E$ U9 m
8 {/ q* _& R: c8 b5 y( B& y%    x = finite duration sequence over n
, q1 B; R& l9 V7 W
%    n = sample position vector

' H- ^$ R2 A# {9 x& I. S%    w = frequency location vector

* }( G3 e5 [; d' eX = x*exp(-j*n'*w);

%
8 E6 n% ^& }# `+ z. t5 b4 p' \
, R+ d+ r! {8 M. r1 ?6 r  m, Mend
  M+ K5 G2 M8 W5 S3 j1 P9 G) U
1 N7 @4 B1 v( ~

1 Y: Q5 e: |2 V  ^& P9 F, O3 I矩形窗:

%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101

clc; close all;
! S' E4 i9 d) ]/ y2 U; R/ m% \( B
Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');
8 P- h+ J. W0 D2 d4 D) ?
. d2 Q5 x* o+ W, y5 }1 Yw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
( O, U+ z  e+ b* L5 V6 t7 a0 X* Q/ T
3 D, A+ w7 @6 h$ V' k  i% M=10

M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

3 @, c( m: b3 K; U: T; `1 rX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M=10']);
& R6 a* ]8 i, Y9 }) A* P
" t' S: M7 j& g/ @' h" Pset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

5 ~( d. K) Z9 u3 ]/ F" s% M=25

/ }1 H! ~$ ~/ {, x. N. D* I* W: sM=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));
, N4 M* f2 m; r6 @0 r3 }# r1 A$ C
+ `3 G% O" Z% d$ DX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
6 i) M& K# n" \* X' _
0 M. f# n0 @+ j- `. x/ B; zsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
* Y  Q9 P- k8 C; r+ h
title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; M  |0 _: X7 k+ k: w8 B
6 @& O1 a* J" B9 U% M=50
9 c. J3 W. S; C+ b1 p
M=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));
) S8 O9 g5 [- a( Q; X' K: |
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
/ \& V$ w; a& r6 N0 `  G9 w
: z, b' ?4 {. [2 x1 I; T: Ixlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
; A: E, e: N' U. x5 N6 G
title('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
2 `9 d9 G) n. m
. M9 H7 Q1 n3 ?6 k$ l$ X% M=101

M=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));
2 y. A4 s% x2 j0 J4 d
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
9 o! h+ K( X% s; J$ i  I
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
) B6 }$ Q$ _+ D: x9 O
title(['M=101']);

' H; j* w3 \& j* ]9 o: }1 G
三角窗:
0 }/ n$ y; M/ c+ B' l- E% J$ _4 p
: {5 Z1 _1 R+ M* R8 r% Triangular Window:

% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101
; c& X0 J' o$ d8 _
clc; close all;
# z8 t$ j0 {8 t& ?4 v
+ @; N9 o) {0 R. `! n( `4 X  dHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');
! o( U- y" H5 V- Y# _
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
2 L" P- {9 W. K' ]3 y; i# k  k
% M = 10

, _0 o. G, S  W+ ?M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
8 ?  Z" T, i, s; A3 v; |
" f0 N" w; \- J% ]3 M# k" Xx=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
: I, v* X  H, m, T6 z# M  \
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
4 l, u" _  x2 B8 @0 ^2 V; z, x) a7 z9 o
3 b; J6 _  {/ r. n( c$ V( lylabel('|X|'); title(['M = 10']);

! a7 B$ z  M, C% [8 v) lset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
+ p0 u2 L  a# X& o/ b
. x  k, _: C! u. X  X! k% M = 25

+ e# k  J  @6 C, @- Q. B( C8 BM=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

% b9 z# o  K1 U& l8 YX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
6 a# ^8 r$ s( L7 a3 K# T* ~
+ X9 A: x$ |5 b. j/ M7 p' o& Vsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
: e1 a& j+ u' h  }1 n8 U6 j
title(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; V& R# Y. v: s8 V# D3 i# a% n
% M = 50

M=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

5 ], k1 h2 c; s4 isubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
# E) }8 b9 k$ q1 a$ t, @
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);
) h* m7 r# }" p) D" ~
$ u1 }) h# r$ K* Mset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

0 B! U7 u$ P6 G! H( N% M = 100

( }6 y+ C& y) Q  N3 t! oM=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
& c$ S: Q2 N; i# W
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
: s" Z7 x% L& _1 W% H( h  C
6 z) m5 o3 w- @subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

5 D0 ]  e2 x  y+ [xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
, w: c0 y( d' a
) [" `. F* D! {9 Y; M+ {) K" r; Rset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
  C  J6 y0 G8 B) w3 v% m% g


海宁窗:
5 o$ C: t  }: E) H$ c4 g
% Hann Window
% S$ \% d. c7 x6 ]- Z
- o9 P: e; z- `1 X/ C, @8 H% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101

0 x, K" A/ ^9 @* T8 v7 [8 R/ L  U3 Nclc;close all;

Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');
2 \: s6 E: i- f( c0 E
# P3 }. s  u, }/ o5 {4 B& E) Rw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

3 \; f2 I' T4 TM=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

2 |8 S6 y1 g, G0 FX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
9 K6 A7 f$ ^5 E' ?6 K0 j3 J
+ }0 Z: N" ~" q- A4 n( L  Asubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

8 H0 j- K* x. d3 G' Vset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
# N! ?2 l6 b7 w; ?' I3 [
% M = 25
' o3 }# v6 I  c$ p3 C
M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
+ Z5 s. c3 t2 Q( b- n- M% s
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
3 V# l) ]! [# @. A
) ]2 f1 c* N( ksubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
, E+ T; L4 E, L* P/ d/ F
! m/ [: s$ a0 N title(['M = 25']);

, P3 q, x/ s" l7 g& _set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

, U# O# V  M+ ~% e  u1 W2 Z& PM=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

! m! t3 R; }  j* y! T  psubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

4 Y. f( u( `( x- Axlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);
  ^' Y. O! ?' [5 P
& ?- [* A3 m' h, F) B0 ^set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101
6 K4 e- A! ?. u4 Q
- |" x9 ?$ U3 a) ?( s) q$ C% |M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
3 ~+ k& a# Z/ I% n& b/ a
; O- G1 @4 b0 r6 p0 q: E; Nsubplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

# b$ W- r  G0 {! X7 Uxlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
! E$ I! t8 p- c* a3 Z6 ^4 h
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
) `* Y+ ]+ Z, z" N
" B8 j% d3 ^) c! w4 A2 t0 K! ~9 H
7 ^' }; ]  u* m, h8 W2 E# I哈明窗:
2 q7 M$ Y; ^: c# y8 r) F
% Hamming Window:

clc; close all;

3 q3 |7 f( [- r. A) d2 CHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');
" u, Y5 S# \5 {; [6 u  C2 }& O8 E
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
6 J3 J# i; q/ J/ K, s  b/ H+ V
% M = 10
- J1 w1 l1 V- k1 U% j2 m
) ]! _9 s- ~$ v& Y6 {* }$ u8 v( bM=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
5 F- \6 h6 l( I9 q3 w* r* U1 d
# r1 K3 ]: Z& nX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

) P$ l  m/ |! Z/ h9 k" S: wsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
" p6 H; h2 _: q" `
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
" F) D- _! ]% j& c6 ~( R! D
% M = 25

  y( z' j/ ?+ Z: W, jM=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

; `; O% j$ Z9 ~subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

5 l" V3 S4 g" L5 `1 @M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
4 V2 u0 S# v$ o! d4 H
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
9 w# x2 f( R( J# [4 X
+ X. `+ W9 q( ?subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
$ @& ]) q" n- w6 M; Y
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
% P8 T2 k% d; b8 T
0 J- @: ~* _$ F! _% M = 101
3 V3 O  t/ |/ l/ l) k
0 k$ h/ }) D( v( g( s2 l; L. qM=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

9 N9 O4 t3 ]& k! E) z  fX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
6 a/ ~3 i: R/ g9 o
! z4 N$ ~# J9 n& G) [$ c+ d
6 Z% K& ?9 V1 ~$ I4 `

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作者: relchhiclty    时间: 2019-11-13 19:21
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